5.1.2第2课时(导数的几何意义) 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

5.1.2 导数的概念及其几何意义 第二课时 (导数的几何意义) 一、知识回顾 1.平均变化率 如果当△x→0时,平均变化率 无限趋近于一个确定的值， 即 有极限,则称y=f(x)在x=x0处可导,并把这个确定的值叫做 y=f(x)在x=x0处的导数(也称为瞬时变化率). 记作f'(x0)或y'|x=x0，即 2.导数 二、探究新知 我们知道，导数f'(x0)表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况. 那么导数f'(x0)的几何意义是什么? 观察函数y=f(x)的图象，平均变化率 表示什么?瞬时变化率 表示什么? 平均变化率 表示割线PP的斜率. x O y y=f(x) △x △y P0 T 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x，f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时,割线P0P无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f(x)在点P0处的切线. 此处的切线定义与初中学过的圆的切线定义有什么不同? P 二、探究新知 二、导数 导数的几何意义： 与问题2中抛物线的割线和切线之间 的关系类似，容易知道，割线P0P的斜率 记△x=x-x0，当点P沿着曲线y=f(x) 无限趋近于点P0时，即当△x→0时,k无限 趋近于函数y=f(x)在x=x0处的导数.因此， 函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是切线P0T的斜率k0，即 三、导数的几何意义 数学上常用简单的对象刻画复杂的对象.例如，用有理数3.1416近似代替无理数式这里,我们用曲线上某点处的切线近似代替这一点附近的曲线,这是微积分中重要的思想方法——以直代曲. 继续观察右图，可以发现点P0处的切线P0T比任何一条割线更贴近点P0附近的曲线,进一步地,利用信息技术工具将点P0附近的曲线不断放大(如下图)，可以发现点P0附近的曲线越来越接近于直线．因此,在点P0附近,曲线y=f(x)可以用点P0处的切线PT近似代替. 三、导数的几何意义 四、典型例题 例1 下图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间 变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象．根据图象，请描述、 比较曲线h(t)在t=t0、t1、t2附近的变化情况. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 四、典型例题 例2 下图是人体血管中药物浓度c=f(t)(单位:mg/mL)随时间t(单 位:min)变化的函数图象．根据图象，估计t=0.2、0.4、0.6、 0.8 min时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1). 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 四、典型例题 例3 已知曲线y=x2+6的切线分别符合下列条件,求切点. (1)平行于直线y=4x-3; (2)垂直于直线2x-y+5=0. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 四、典型例题 例4 (1)求曲线y=2x2+4x在点P(1,6)处的切线方程. (2)求过点Q(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 四、典型例题 例5 设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0)，若曲线y=f(x)的斜率最小的 切线与直线12x+y=6平行，求a的值. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 五、导函数 从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f'(x0）是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 六、课堂小结 1.导数的几何意义 3.导函数(简称导数) 2.曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是: 五、巩固提升 课堂练习: 第69页练习第2、3、4题 课堂作业: 第70页习题5.1第7、11题 $$