5.1.2第1课时(导数的概念)课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

5.1.2 导数的概念及其几何意义 第一课时 (导数的概念) 前面我们研究了两类变化率问题:一类是物理学中的问题,涉及平均速度和瞬时速度;另一类是几何学中的问题,涉及割线斜率和切线斜率.这两类问题来自不同的学科领域,但在解决问题时,都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法;问题的答案也有一样的表示形式.下面我们用上述思想方法研究更一般的问题. 一、平均变化率 对于函数y=f(x),设自变量x从x0变化到x0+ x,相应地,函数值y就从f(x0)变化到f(x0+ x).这时,x的变化量为 x,y的变化量为 y=f(x0+ x)-f(x0). 我们把比值 ,即 叫做函数y=f(x)从x0到x0+ x的平均变化率. 二、导数 根据物体的路程关于时间的函数求速度与加速度和求已知曲线的切线这两类问题直接促使了导数的产生. 由导数的定义可知,问题1中运动员在t=1时的瞬时速度v(1),就是函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11在t=1处的导数h'(1); 问题2中抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线P0T的斜率k0, 就是函数f(x)=x2在x=1处的导数f'(1).实际上,导数可以描述任何运动变化事物 的瞬时变化率,如效率、国内生产总值(GDP)的增长率等. 如果当 x 0时,平均变化率 无限趋近于一个确定的值,即 有极限,则称y=f(x)在x=x0处可导,并把这个确定的值叫做y=f(x) 在x=x0处的导数(也称为瞬时变化率),记作 ,即 二、导数 由导数的定义可知,求函数y=f(x)在x=x0处的导数的一般方法: 一差二化三极限 口 诀 ②求平均变化率: ①求函数的改变量: ③求值: 三、典型例题 例1 设f(x)= ,求f'(1). 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 三、典型例题 例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油 进行冷却和加热. 已知在第xh时, 原油的温度(单位: )为 y=f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8). 计算第2h与第6h时, 原油温度的 瞬时变化率,并说明它们的意义. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 三、典型例题 例3 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶,假设ts时汽车的速度(单 位:m/s)为y=v(t)=-t2+6t+60,求汽车在第2s与第6s时的瞬 时加速度,并说明它们的意义. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 三、典型例题 例4 分别求函数y=f(x)=x2在x=-2、-1、0、1、2处的导数. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 四、课堂小结 1.平均变化率 如果当 x 0时,平均变化率 无限趋近于一个确定的值, 即 有极限,则称y=f(x)在x=x0处可导,并把这个确定的值叫做 y=f(x)在x=x0处的导数(也称为瞬时变化率). 记作f'(x0)或y'|x=x0,即 2.导数 五、巩固提升 课堂练习: 第66页练习第1、2、3、4题 课堂作业: 第70页习题5.1第3、4题 $$