2023-2024学年中职数学上册3.3.2奇偶性

3.3.2函数的奇偶性 要点 1.什么是偶函数，它的图象有什么特点？ 2.什么是奇函数，它的图象有什么特点？ 3.怎样判断函数的奇偶性？ 问题1.观察下面两个图象.(1)各图象有什么样 的对称性？(2)各函数中，自变量取一对相反数时， 函数值是什么关系？即fx)与f代-x)有什么关系？ y,f(x)=x2 f(x)=Ixl 3 32 123x -3-20123 定义：如果对于函数x)的定义域内任意一个x, 都有f代-x)=fx),那么函数fx)就叫做偶函数. 偶函数的图象关于y轴对称. 如：问题1中，fx)=x2, f八-x)=(-x)2=2, 得f-x)=fx), ∴.fx)=x2是偶函数. 同样，fx)=xl, f-x)=曰-xl=lrl, 得f-x)=fx), .fx)曰r也是偶函数. 问题2.观察下面两个图象.(1)图象有什么样的 对称性？(2)各函数中，自变量取一对相反数时，函 数值是什么关系？即fx)与f-x)有什么关系？ 归 3 f(x)=I 3 定义：如果对于函数fx)的定义域内任意一个x, 都有f-x)=一fx),那么函数fx)就叫做奇函数 奇函数的图象关于原点对称. 如：问题2中，fx)=x, f-x)=-x, 得f-x)=fx), ∴.fx)=x是奇函数 同样，fx)= f化是 得f-x)=fx), fx)=也是奇函数 利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ()首先确定函数的定义域，并判断其定义 域是否关于原点对称； (2)确定f代一x)与fx)的关系； (3)作出相应结论. 例3判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=x3-x: (2)f(x)=-x2+x4: (3)f(x)=x2-2x: (4)f(x)=x+1: (5)f(w)=Vx-3; (6)f(x)=3x2+1,x∈[-2,5] 解(1)函数f(x)=x3-x的定义域为(-∞，+∞)，对于任意的 x∈(-o,+∞)，都有 f(-x)=(-x)3-(-x)=-(x3-x)=-f(x), 所以f(x)=x3-x是奇函数. (2)函数f(x)=-x2+x4的定义域为(-∞，+c∞)，对于任意的 x∈(-o∞，+o0),都有 f(-x)=-(-x)2+(-x)4=-x2+4=f(x), 所以f(x)=-x2+4是偶函数. (3)函数f(x)=x2-2x的定义域为(-∞，+o∞).取x=1,则 f(-1)=(-1)2-2×(-1)=3,f(1)=12-2×1=-1. 由于f(-1)≠f(1),且f(-1)≠-f1),所以f(x)=x2-2x既不是偶函 数也不是奇函数，它是非奇非偶函数， (4)函数f(x)=x+1的定义域为(-o∞，+∞).取x=1,则 f(-1)=(-1)+1=0,f1)=1+1=2. 由于f(-1)≠f(1),且f(-1)≠-f(1),所以f(x)=x+1既不是偶函数 也不是奇函数，它是非奇非偶函数 (5)函数f(x)=√x-3的定义域为[3，+∞)，定义域关于原点不 对称，所以f(x)=√x-3是非奇非偶函数. (6) 函数f(x)=3x2+1,x∈[-2,5]的定义域为[-2,5]，定义域 关于原点不对称，所以f(x)=3x2+1是非奇非偶函数：