山东省枣庄职业学院2023-2024学年中职数学基础模块上册第一学期函数的基本性质

枣庄职业学院 作业 #5 课程: 数学 (上) 专业: 姓名: 学号: 日期: 20231103 问题 1. 回答下列问题 1. 已知一次函数的图像经过点 (1, 2) 和 (−2, 4), 则该函数解析式为 . 解 : 因一次函数为 y = kx+ b, 所以将题目给出的两点代入其中便有 2 = k + b (1) 4 = −2k + b (2) (2) 式减 (1) 式即有 2 = −3k ⇒ k = −2 3 将k值代入(1) ⇒ b = 8 3 所以该一次函数解析式为 y = −2 3 x+ 8 3 2. 已知函数 f(x) = x3 − 2x2 + 1, 则 f(−2) = . 解 : 直接将 x = −2 代入函数解析式: f(−2) = (−2)3 − 2(−2)2 + 1 = −15 因此 f(−2) = −15. 3. 已知函数 f(x) = x2 − 4, 则 f [f(−3)] = . 解 : 先求出 f(−3) = (−3)2 − 4 = 5, 那么 f [f(−3)] = f [5] = 52 − 4 = 21. 4. 若 f(x) 是奇函数, 且 f(−3) = 5, 则 f(3) = . 解 : 由于 f(x) 为奇函数, 所以有 f(x) = −f(−x), 从而就有 −5 = −f(−3) = f(3) 因此 f(3) = −5. 5. 若 f(x) 是偶函数, 且 f(a) = 5, 则 f(−a) = . 解 : 由于 f(x) 为偶函数, 所以有 f(x) = f(−x), 从而就有 5 = f(a) = f(−a) 因此 f(−a) = 5. 1 数学 (上) – 作业 #5 6. 若函数 f(x) 在区间 (−∞,+∞) 是单调递减函数, 那么 f(−5) f(0.8). 解 : 由 f(x) 为 (−∞,+∞) 上的单减函数可知, 任取 x1, x2 ∈ (−∞,+∞) 且 x1 < x2, 都有 f(x1) > f(x2) 成立. 本题中显然 −5 < 0.8, 所以 f(−5) > f(0.8). 问题 2. 已知函数 f(x) = x 2 + 1 x ≥ 0 x− 2 x < 0 , 求 f(−2), f(0), f(5). 解 : f(−2) = −2− 2 = −4 f(0) = 02 + 1 = 1 f(5) = 52 + 1 = 26 问题 3. 把一直径为 20 厘米的圆柱形木材切成截面为正方形的方木, 设该正方形的边长 为 x 厘米, 该正方形的横截面积为 y 平方厘米. 写出 x, y 之间的函数关系式并求出该正 方形的面积是多少. 解 : 正方形面积 y = x2. 正方形的具体面积为： 方法一: 由圆木直径为 20 厘米知正方形对角线长度 为 20cm. 再根据勾股定理可知 x2 + x2 = 202 从而正方形边长 x = 10 √ 2, 所以正方形面积为 y = (10 √ 2)2 = 200 方法二: 以 AC 为 △ABC 的底, 圆的半径 OB 为 △ABC 的高, 则可得该三角形的面积 S△ABC = 20× 10× 1 2 = 100 正方形 ABCD 由两个这样的三角形构成 (即 △ACD), 从而正方形的面积为 S△ABC × 2 = 200 问题 4. 根据下列函数图像判断各函数的奇偶性. 2 数学 (上) – 作业 #5 解 : 1. 该函数图像关于 y 轴对称, 所以为偶函数. 2. 该函数图像既不关于 y 轴对称也不关于原点对称, 所以为非奇非偶函数. 3. 该函数图像关于原点对称, 所以为奇函数. 问题 5. 根据下列函数解析式判断各函数的奇偶性. 1. f(x) = 5x. 解 : 该函数的定义域为 R, 其定义域关于原点对称. 由于 f(−x) = 5(−x) = −5x = −f(x), 所以该函数为奇函数. 2. f(x) = 1 5 x2. 解 : 该函数的定义域为 R, 其定义域关于原点对称. 由于 f(−x) = 1 5 (−x)2 = 1 5 x2 = f(x), 所以该函数为偶函数. 3. f(x) = |x| − 3. 解 : 该函数的定义域为 R, 其定义域关于原点对称. 由于 f(−x) = | − x| − 3 = |x| − 3 = f(x), 所以该函数为偶函数. 4. f(x) = x x2 + 1 . 解 : 该函数的定义域为 R, 其定义域关于原点对称. 由于 f(−x) = −x (−x)2 + 1 = − x x2 + 1 = −f(x), 所以该函数为奇函数. 5. f(x) = √ x+ 1. 解 : 该函数的定义域为 x ≥ −1, 其定义域不关于原点对称. 所以该函数是非