12.3 纯不连续马氏过程（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版· 第4版）

《概率论与数理统计》 过程及相关的性质. 上节介绍了参数集与状态均为离散的马氏过 程，下面介绍参数集连续状态空间离散的马 氏过程即纯不连续马氏过程，首先介绍泊松 12.3 纯不连续马氏过程 12.3.1、泊松过程 1、计数过程 定义 在[0, t)内事件A发生的总数N(t)组成的 过程{N(t) , t≥0}称为计数过程. 例如在[0, t)到达某商店的顾客数组成的过 程{N(t)，t≥0}为计数过程. 从上述定义出发，计数过程满足下列条件: （1）N(t)≥ 0; （2）N(t)为一非负整数; （3）有两个时刻s＜t，则N(s)≥N(t); 对于时刻s＜t，N(t)－N(s)为时间间隔 [s，t)中事件A出现的次数. 注：在计数过程中，如果在不相交的时间间隔内出现文件A的次数是相互独立的，则该计数过程为独立增量过程. {X(t),t∈T}为一随机过程， 若X(t2)－ X(t1)与X(t4)－X(t3)独立，则称 {X(t)，t∈T}为独立增量过程. 定义 {X(t)，t∈T}为－随机过程，若s＜t时， X(t)－X(s)的分布仅t－s有关而与s无关，则称 此过程为平稳增量过程. 定义 2、泊松过程 定义 设－随机的计数过程{N(t),t≥0}满足 下列条件 (1)N(0)＝0 (2){N(t),t≥0}为独立增量过程和平稳增量 过程； (3)在[t, t+t)中出现一个事件的概率为 在[t, t+t)出现2个或2个以上事件 A的概率为o(Δt),即 则该计数过程为泊松过程. 定理 泊松过程{N(t),t≥0}在时间间隔[t0,t0+t) 内事件A出现n次的概率为 证明 记 Pn(t)=P{N(t)=n}=P{N(t)-N(0)=n} 由于 , 所以 C=1. 由此得： 即 根据全根率公式 根据数学归纳法即可得 (n=1, 2, …) 注1 EN(t)=t, DN(t)= t. 即代表单位时间内事件A出现的平均次数。 注2 (3) 从t=0开始到第n次事件发生所需的时间称为等待时间，记为Sn, Sn服从分布，其密度函数为 定理 (1) 强度为的泊松过程相邻两次事件 发生的时间间隔服从参数为的指数分布； 其逆命题也成立； (2) 对于泊松过程，若已知[0, t）内有一个 事件发生，则事件发生的时刻均匀分布于 [0,t）内； 12.3.2 转移概率及性质 定义设{X(t),t∈T}为马氏过程，则 (当s<t时) 称为转移概率分布函数. 不难得到如下性质 (i) 0≤F(s, x；t, y) ≤1 (ii) F(s,x; t,+)=1, F(s, x;t, - )=0； (iii) F(s,x;t,y)为关于y的右连续函数。 与第二节类似地可以得到如下的切普曼－柯尔莫哥洛夫方程（C－K方程）. 定义 为马氏过程，S={0,1,2,…}, 称为纯不连续马氏过程由i状态转移到 j状态的转移概率。若与t1无关，则称之为 齐次的马氏过程. 对τ>0有 定理 (C-K方程)设为齐次的纯不连续马氏过程 ,S={0, 1, 2, …}， 证明 另一方面， 与上述类似地可得： 显然pij(t)有以下性质 ① ② ③ 谢 谢 聆 听 $$