9 方差分析（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版· 第4版）

《概率论与数理统计》 2 在实际问题中，常常需要研究在不同条件下所得 到的试验数据, 可以通过对数据的分析处理,分清 不同试验条件对试验结果是否有显著影响及影响 程度大小. 称试验中受控制的条件为因素，变化的因素可 在试验中变化，其它因素不变，此问题称为单因 分成的若干水平称为因素水平. 若仅有一个因素 第九章  方差分析 3 称为多因素问题. 素问题. 若试验结果受多个变动因素影响， 例如，在农业生产过程中，仅研究化肥对产量的 影响，这里化肥便称为因素，由于化肥有多种,不 同的化肥便称为水平，这是单因素问题。 在农业生产过程中，产量的影响不仅与化肥有 关,而且与种子有关,称化肥为因素A,不同的化肥称 为因素A的各个水平,种子称为因素B,不同的种子称 因素B的各个水平.这是双因素问题。 4 单因子方差分析的统计模型 在每一水平下考察的指标可以看成一个总体， 一、假定 在单因子试验中，设因子A有m个水平， §9.1 单因素方差分析 现有m个水平，故有 m个总体，数据如下 5   试 验 数 据   ……   ……           …… 6 (1)每一总体均服从正态分布； (2)每一总体的方差相同； (3)从每一总体中抽取的样本独立。 要比较各个总体的均值是否一致，就是要检验各总体的均值是否相同，设第i个总体的均值为i，那么要检验的假设为 其备择假设为： 不全相同。 通常H1可以省略不写。 并假定： 7 当H0为真时，A的m个水平的均值相同，这时称因 子A的各水平间无显著差异，简称因子A不显著； 反之，当H0不真时，各i不全相同，这时称因子 A的各水平间有显著差异，简称因子A显著。 用于检验假设H0的统计方法称为方差分析法，其 实质是检验若干个具有相同方差的正态总体的均值 是否相等的一种统计方法。若考察的因子只有一 个时，称为单因子方差分析。 8 二、数据结构及统计模型 设从第i个总体获得容量为ni的样本， 在水平Ai下获得的Xij与i不会一致，记 这是 的数据结构式 称 为随机误差 ，有 9 统计模型可以改写成： 在方差分析中引入一般平均与效应的概念，称 为一般平均，其中 为A的第i水平的主效应， 简称为Ai的效应。显然有 10 11 三、 检验方法 1、误差来源 造成各xij差异的原因可能有两个： (1)原假设 H0不真，即各水平下总体均值不同； (2)差异是由于随机误差引起的。 记 表示水平Ai下的数据和， 表示水平Ai下数据的平均值 12 为所有数据的总平均值。 每一数据与总平均的偏差可以分解成两部分： 称为组内偏差，仅反映随机误差; 13 称为组间偏差; 14 2、平方和分解 称为总偏差平方和。 称为误差偏差平方和 称为因子A的偏差平方和 15 3、检验统计量与拒绝域 有计算公式： 可以证明有： 16 （1）求: 利用正态总体中的结论有 又由 分布的可加性知： 则有 17 从而有 (2) 求 18 当原假设为真时，各 相等且为 ，则 比较合理的拒绝域形式为： 对给定的显著性水平 ， 应满足 取检验统计量为： 19 四、方差分析表（ANOVA表） 可知当 为真 表7.2.1 单因子方差分析表 方差来源 平方和 自由度 均方 F比       《概率论与数理统计》 21 §9.2 双因素方差分析 记录表如下： 设因素A有m个水平等级，因素B有s个水平等级， A、B的每一对水平配合（Ai，Bj）(i=1…m, j=1…s) 取且只取一次试验结果Xij，将这m×s个数据列成 一、无重复试验双因子方差分析的统计模型 21 1 22 B A B1 B2 … BS 行和Ti. 行平均 A1 A2 … Am 列和 T. j 列平均 X11 X12 … X1S X21 X22 … X2S … … … … Xm1 Xm2 … Xms T1 T2 … Ts … T1. T2. … Tm. 总和T … 2