7.6 区间估计（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版· 第4版）

《概率论与数理统计》 计量 定义 给定值（0< <1),若由样本X1, …, Xn确定的两个统 7.6 区间估计 设总体X的分布函数F(x; )含有未知参数 ,对于 使 注：F(x; )也可换成概率密度或分布律。 分别称为置信度为1的置信上限与置信 下限。 则称随机区间 为 的置信度为1的 置信区间. 一、利用切比雪夫不等式求均值的置信区间 如果总体分布未知，方差已知，则可用切比雪夫不等式来求均值的置信区间。 例1. 某灯泡厂某天生产了一大批灯泡，从中抽取了 10个进行寿命试验，得数据如下（单位：h） 1050   1100 1080 1120 1200 1250 1040 1130 1300 1200 已知这天生产的灯泡寿命的方差为8，试求以95% 以上概率认为灯泡的平均寿命的置信区间？ 解 设X表示这天灯泡的寿命，由已知得D(X)＝8，由于X 的分布未知，可用比雪夫不等式来求均值的置信区间。 即 （1143， 1152）。 EX的置信区间为(1147-4, 1147+4), 即 二、 正态总体均值参数的区间估计 1、2已知 7 1- (1-)  1- 的置信度为1的置信区间为 注：的1置信区间不唯一。 都是的1置性区间.但=1/2时区间长最短. 例2(续例1） 某灯泡厂某天生产了一大批灯泡，从 中抽取了10个进行寿命试验，得数据如下 （单位：h） 1050   1100 1080 1120 1200 1250 1040 1130 1300 1200 已知这天生产的灯泡寿命服从正态分布且方差为8，试求以95%以上概率认为灯泡的平均寿命的置信区间？ 解 可见选取同样大小的样本，由于已知总体这一信息，求出的结果比用契比雪夫不等式估计的结果要精确。 利用公式，得到的置信度为95%的置信 区间为 求正态总体参数置信区间的解题步骤： (1)根据实际问题构造样本的函数，要求仅含待估参数且分布已知-----枢轴量； (2)令枢轴量落在由分位点确定的区间里的概率为给定的置信度1，要求区间按几何对称或概率对称； (3)解不等式得随机的置信区间； (4)由观测值及值查表计算得所求置信区间。 例3 某厂用自动包装机包装奶粉，每袋净重 xi(单位:g), i=1，2，…，10，计算得 试求的置信度为95%的置信区间. 现随机抽取10袋，测得各袋净重 解 =0.05,u/2=1.96,n=10,=5 即（498.910, 505.099）. 故均值的置信度为95%的置信区间为 2、2未知 的1-置信区间为 1- 即得 15 例4 有一大批糖果, 现随机地从中取16袋,称 得重量（单位：g）如下 506, 508, 499, 503, 504, 510, 497, 512 514, 505, 493, 496, 506, 502, 509, 496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求 总体均值的置信区间(=0.05). 解 这里1-=0.95， 查表得t0.025(15)=2.1315, 由给出的数据算得： s=6.2022. 则的置信度为0.95的置信区间为 即（500.4,507.1） 在实际问题中，总体方差未知的情况居多. 三、单正态总体方差的置信区间 假定m未知， 设 给定置信度1-，由 观测值x1,x2,…, xn求2或的置信区间。 2的置信度为1的置信区间为 的置信度为1的置信区间为 四、双正态总体均值差的置信区间 20 其中 可解得1- 2 的置信区间 五、双正态总体方差比的置信区间 假定1，2未知 可解得 的置信区间 谢 谢 聆 听 $$