6.3 常用统计量的分布、6.4 充分统计量（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版· 第4版）

《概率论与数理统计》 确定统计量的分布是数理统计的基本问题之一. 正态总体是最常见的总体, 本节介绍的几个抽样分布均对正态总体而言. 6.3 常用统计量的分布 2分布、t分布和F分布。 一、正态分布 统计学上的三大分布： 定理1.若 相互独立, 则 其中ck为常数。 特别地,若 则 标准正态分布的  分位数 定义 分布的上 分位数. 则称u为标准正态 若 正态分布的双侧分位数. 若 则称 为标准 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 标准正态分布的 分位数图形 u •  常用 数字 /2 -u/2=u1-/2 /2 u/2 • -u/2 • 定义 设 相互独立, 且都服从标准正态分布N (0,1),则 注1 n = 1 时,其密度函数为 二、 分布( n为自由度 ) 注2 n = 2 时,其密度函数为 为参数为1/2的指数分布. 其中 在> 0时收敛，称为函数，具有性质 一般 的密度函数为 自由度为 n 的 n=2 n = 3 n = 5 n = 10 n = 15 例如  分布的性质 20.05(10) • n = 10 相互独立, 证 1设 则 定理2(Helmert定理,1876） 证明： A为正交矩阵，则 A的构造如下： 相互独立； 与 三、 t 分布 (Student 分布) 则称T 服从自由度为 n 的T 分布,记为T ~t(n). 其密度函数为 定义 X ,Y相互独立, 设 t 分布的图形(红色的是标准正态分布) n = 1 n=20 t 分布的性质 1°f n(t)是偶函数, 2°T 分布的上 分位数 t 与双测  分位数 t/2 均 有表可查. n = 10 t -t • •  t/2 -t/2 • • /2 /2 与 相互独立 定理3 则 证明 则 相互独立的简单随机样本. 设 与 分别是来 自正态总体 与 的 与 相互独立 四、 F 分布 则称 F 服从为第一自由度为n ,第二自由度为 m 的F 分布. 其密度函数为 定义 X, Y 相互独立， 设 令 m = 10, n = 4 m = 10, n = 10 m = 10, n = 15 m = 4, n =10 m = 10, n = 10 m = 15, n = 10 定理 相互独立的简单随机样本. 令 设 与 分别是来 自正态总体 与 的 则 若 则 (3) F 分布的性质 例如 事实上, 故 求 F(n,m) •  例1 证明 证 例2 证明： 令 证 设 的概率不小于90%,则样本容量至少取多少? 例3设 ,为使样本均值大于70 解 设样本容量为 n , 则 故 令 得 即 所以取 例4 从正态总体 中，抽取了 n = 20的样本 (1) 求 (2) 求 即 解 (1) 故 (2) 故 例5 设r.v. X 与Y 相互独立，X ~ N(0,16), Y ~ N(0,9) , X1, X2 ,…, X9 与Y1, Y2 ,…, Y16 分别是取自 X 与 Y 的简单随机样本, 求 统计量 所服从的分布. 解 从而 的样本, 例6 设总体 为总体 X 试确定常数 c , 使 cY 服从 分布. 解 故 因此 例7 设 是来自N ( , 2 )的 简单随机样本, 是样本均值, 则服从自由度为n - 1的t 分布的随机变量为 故应选 (B) 解 补充作业 其样本均值为 求统计量 1. 设 为从正态总体 X ~ N ( , 2) 中抽取的简单随机样本 的数学期望 E (Y ). （转后页） 的概率大约为 0.01. 是来自正态 总体 容量为 n的两个样本均值, 且两样本相互独立, 试 确定 n ,使两样本均值之差的绝对值超过 3：设总体X~N(10,32), X1, … ,Xn是它的一个样本 (2)求P(Z >11). 解: 1)∵ X~N(10,32)，∴ ~N(60,54) E(Z)=6×10＝60 D(Z)=∑D(Xi)=6×32 ＝54 2) ∵ Z~N(60,54)， (1)写出Z所服从的分布; 4：设X1， … ，X10是取自N（0，0.32)的样本,求 解：∵ X1， … ，X10～ N（0，0.32) ～ N（0，1) ～ 5.设X1， … ，Xn是取自N（,2)的样本,求样本方差S2的期望与方差。 解： 总结 一、正态分布 二、 分布( n为自由度 ) 三、 t 分布 (Student 分布)