18.2.1 矩形2023-2024学年人教版八年级下册数学同步讲练

第十八章 平行四边形 18.2 特殊的平行四边形 18.2.1 矩形 一、矩形的性质 知识梳理 1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 平行四边形中，若，则四边形是矩形. 2、矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质（见下表）. 性质 数学语言 图形 角 矩形的四个角都是直角 四边形是矩形， ∴ 对角线 矩形的对角线相等 四边形是矩形， 对称性 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴 3、直角三角形斜边中线的性质 性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 几何语言：∵ 在Rt△ABC中，点D是AB的中点， ∴ BD=AD=CD=AC. 【注意】 （1）直角三角形的这一性质常用来证明线段的倍分关系； （2）运用此性质的前提是在直角三角形中，对一般三角形不可使用； （3）直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形，这两个等腰三角形的面积相等． （4）直角三角形的这条性质与直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半、三角形的中位线定理都是证明线段倍分关系的重要依据．“三角形的中位线定理”适用于任何三角形；“直角三角形斜边上的中线性质适用于任何直角三角形”；“含30°角的直角三角形性质”仅适用于含30°角的特殊直角三角形. 例题讲解 【题型一】利用矩形的性质求线段长 【例1.1】如图，已知矩形ABCD，AD＝24，CD＝16，点R、P分别是DC，BC上的点，点E、F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从B向C移动，而点R不动时，若CR＝9，则EF＝(　　) A．12 B．12.5 C．9 D．不能确定 【例1.2】如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，AB＝2，∠ABE＝45°，则DE的长为（　　） A．22 B．1 C．1 D．2 【例1.3】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OF⊥AB，垂足为点F，BE⊥AC，垂足为点E，且E是OC的中点．若OF＝2，则BD的长为 　 　． 【例1.4】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为(　　) A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5 【题型二】利用矩形的性质求角度 【例2.1】如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E在线段OD上，且AE＝AB，若∠EAO＝15°，则∠AEO＝　 　．​ 【例2.2】如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的垂线，垂足为，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型三】利用矩形的性质求周长或面积 【例2.1】如图，△ABC中，AC的中垂线交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF延长线于点E，若∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是(　　) A．2 B．2 C．3 D．3 【例3.2】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF． （1）求证：AE＝CF； （2）若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积． 【题型四】直角三角形斜边上中线的性质的运用 【例4.1】如图，AD是△ABC的中线，若AB＝8，BC＝10，AC＝6，则AD等于(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 【例4.2】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E为BC上的一点，F为AD的中点，且∠BAE＝35°，∠CDE＝55°，∠ADE＝30°，AE＝3，则EF的长为(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 【例4.3】如图，在四边形中，，E为对角线的中点，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例4.4】如图，在中，于D，于E，点M，N分别是的中点． (1)求证：； (2)若，求的值． 【题型五】矩形的折叠问题 【例5.1】如图，长方形ABCD中将△ABF沿AF翻折至△AB'F处，若AB'∥BD，∠1＝26°，则∠BAF的度数为（　　） A．57° B．58° C．59° D．60° 【例5.2】如图，在矩形中，，，E是上一点，将矩形沿折叠后，点B落在边的F点，则的长为 ． 【例5.3】如图，在平面直角坐标系中，矩形三个顶点A、B、C的坐标分别为，将沿翻折得交x轴于点D，则D的坐标是 ，E的坐标是 ． 变式训练 1．如图，在矩形OABC中，点B的坐标是(3，4)，则AC的长是(　　) A．5 B． C． D．7 2．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则AB的长为(　　) A．3 B．4 C． D．5 3．如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点