7.3区间估计（课件）- 《概率论与数理统计（第3版）》同步教学（机工版）

第六章----第八章知识结构图 数理统计 抽样分布 统计推断 常用的 统计量 四个重 要分布 参数估计 假设检验 正态总体的样本均值与方差的分布 (重要统计量的分布) 矩 估 计 法 点估计 区间估计 极大 似然估计法 均值的区间估计 方差的区间估计 均值的检验 方差的检验 单个 总体 两个 总体 正态总体 问题的引出 第三节 区间估计 在参数的点估计中用样本构造一个估计量 ，用 去估计 ，这仅仅是解决了一个求未知参数 的一个 “近似值”问题，而没有解决“近似值”的精确程度问题，即没有给出这个近似值的误差范围和估计的可信程度。 在参数的区间估计中则要用样本去给出未知参数 的一个大致的范围，并使未知参数 在其中有指定的概率。 具体: 若估计参数为 ，要考虑估计量 落在 的可能性有多大。 即求 . 在估计湖中鱼数的问题中，若已知得到鱼数 N 的极大似然估计为1000条。而实际上N 的 真值可能大于1000条，也可能小于1000条。 例如： 若给定了可能的值，则就可以求出它的可能范围 则在区间估计中就可以给出一个区间，在此区间内合理地相信 N 的真值位于其中。 这样就可对鱼数的估计更有把握. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 希望确定一个区间，使得在该区间内 能以比较高的可靠程度相信它包含未 知参数的真值。 [ ] 而这“可靠程度”是用概率来度量的， 习惯上把置信水平记作 是一个很小的正数。 湖中鱼数的真值 故所讨论的 问题是： 称为置信概率、置信度或置信水平. 称该区间为置信区间。 一. 置信区间 定义: 设总体 X 的分布函数 含有一个未知参数 , 和 满足: ， 对于给定的值 若由样本 确定的两个统计量： 是 的置信度为 的置信区间; 和 为置信度为 的双侧置信区间的 置信下限和置信上限. 称为置信度或 置信概率。 则称随机区间 在反复抽样多次(各种得到的样本容量相等， 均为 n )，每个样本值确定一个区间 ， ▲ ▲ 对置信区间 有两个要求： 很大的可能被包含在该区间内，即要求： 一是要求 以 尽可能大. 二是要求估计的精度要 尽可能的高， 注 定义的含义: 每个这样的区间要么包含 的真值， 要么不 包含 的真值. 按贝努力大数定理可知： 在这么多的区间中包含 真值的约占 不包含 真值的仅占 尽可能短。 即要求区间 可靠度与精度是一对矛盾， 一般是在保证可靠度的条件下 尽可能提高精度. 正态随机变量情形的区间估计. 给定置信度 ，求置信区间. 讨论的问题： 讨论的对象： 二. 正态总体均值的区间估计 1. 单个正态总体 情形 问题: 设 X1,… Xn 是取自 的样本， 求：参数 的置信度为 的置信区间. 解: (1). 当方差 已知的情形 选 的点估计(无偏估计)为 寻找未知参 数的一个良 好估计 ~ N ( 0, 1 )， 且统计量 而且 是样本的均值与方差， 给定置信度 U 不依赖于任何未知参数。 现对于给定的置信水平 (大概率)， 根据 U 的分布，确定一个区间，使得U 取值于该区间的概率为 故对于给定的置信水平， 按照标准正态分布的 分位点的定义有： 从中解得： 于是所求 的置信度为 置信区间为 ： 也可简记为： 例1. 某实验室测量铝的比重 16 次，得平均值 ，设总体 （高斯已证明测量误差是服从正态分布） 求: 的 95% 的置信区间. 解: 由已知： 查正态分布表得： 得： 取统计量： (2). 方差 未知的情形 用 去代替 得统计量： 它是不依赖于任 何未知参数的. 从而 的 的置信区间为： 未知，但考虑到样本方差是 的无偏估计， 的区间范围是 (2.691, 2.719) 即用 来估计 值的可靠