7.1点估计、7.2估计量的评选标准（课件）- 《概率论与数理统计（第3版）》同步教学（机工版）

第六章----第八章知识结构图 数理统计 抽样分布 统计推断 常用的 统计量 四个重 要分布 参数估计 假设检验 正态总体的样本均值与方差的分布 (重要统计量的分布) 矩 估 计 法 点估计 区间估计 极大 似然估计法 均值的区间估计 方差的区间估计 均值的检验 方差的检验 单个 总体 两个 总体 正态总体 总体 样本 统计量 描述 作出推断 研究统计量的性质和评价一个统计推断的 优良性，完全取决于其抽样分布的性质. 随机抽样 第七章 参数估计 利用从总体抽样得到的信息来 估计总体的某些参数或者参数 的某些函数. 估计废品率： 估计新生儿的体重： 估计湖中鱼数 … … 估计降雨量 在参数估计问题中，假定总体分布形式 已知，未知的仅仅是一个或几个参数. 参数估计问题: 例如： 这类问题称为参数估计. 参数估计问题的一般提法 X1, X2, …, Xn 其中 为未知参数 ( 可以是向量 ) 。现从该 设有一个总体 X ，总体的分布函数为 总体抽样，得样本： 所研究的问题： 参数估计问题 的分类 参数估计 点估计 区间估计 要依据该样本对参数 作出 估计，或估计 的某个未知的函数 则估计 为1.68 ----- 这是点估计问题。 估计 在区间 [ 1.57, 1.84 ] 内 ----这是 区间估计问题 现要估计某班男生的平均身高。假定身高服从正态分布 现从该总体选取容量为 5 的样本，所研究的 问题是要根据选出的样本（5个数）求出总体 均值 的估计。 例如 而全部信息就由这 5 个数组成 。设这 5 个数 是：1.65，1.67，1.68，1.78，1.69 解决问题： 总体 X 的分布函数的形式已知，但它的一个或多个参数未知，根据总体X的一个样本来估计总体未知参数或对总体未知参数作出一个估计。 一. 估计量的定义 定义： 第一节 点 估 计 称为 的估计量。 设 为总体X 的分布函数 中的待估 计的参数, 是总体 X 的一个样本， 用 构成的一个统计量： 则 为 的估计值. 二. 构造统计量的方法 1. 矩估计法 ( 数字特征法 ) 用样本的各阶矩来估计总体的各阶矩. 的一组样本值为： 如果 矩估计法是由统计学家卡. 皮尔逊（K. Pearson） 在19世纪末引入的。 矩是描写随机变量最简单的数字特征， 由大数定律可知， 在一定条件下可以用样本的矩 作为总体矩的估计. 故得矩估计法的基本思想： 矩估计法的具体步骤 设总体 X 的分布函数 中含有 个未知参数 ， 存在， 则可通过下列步骤求未知参数的矩估计量: (1) 求总体 X 的前 阶矩 若总体 X 是离散型随机变量，其分布律为： 则： 假定总体 X 的前 阶矩 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 则： 总之， 是参数 的函数， 记为： 若总体 X 是连续型随机变量，其密度函数为： (2) 由（*）式解出 为： (3) 用 的估计量 分别代替（**） 中的 则得 的矩估计量 ▲ 上述计算步骤对 阶中心矩也是成立的。 ▲ 矩估计法的优缺点： 矩估计法并不要求知道总体分布的具体 形式就能对总体的数字特征作出估计 矩估计法要求总体的矩存在，若总体的 矩不存在则矩估计法失效； 优点： 缺点： 对某些总体的参数矩估计量不唯一，这在应用时会带来不利； 对某些总体的参数矩估计量有时不合理. 矩估计法只是利用了矩的信息而没有充分利用总体分布函数的信息; 注 展开为不超过总体 阶原点矩的函数。 因为 阶中心矩总可以通过展开的方法 例 1. 设总体X的均值为 方差为 都存在，且 是总体 X 的一个样本 (2). 当总体(某种灯泡寿命) ， 未知，今取 4 只灯泡， 测得其寿命（小 时）如下： 1502, 1453, 1367, 16