6.1抽样分布（课件）- 《概率论与数理统计（第3版）》同步教学（机工版）

第六章----第八章知识结构图 数理统计 抽样分布 统计推断 常用的 统计量 四个重 要分布 参数估计 假设检验 正态总体的样本均值与方差的分布 (重要统计量的分布) 矩 估 计 法 点估计 区间估计 极大 似然估计法 均值的区间估计 方差的区间估计 均值的检验 方差的检验 单个 总体 两个 总体 正态总体 在上节所介绍内容中已经知道：样本是进行统计推断的依据。 第二节 抽样分布 问题的提出 亦即用样本去推断总体情况，需要对样本进行一定的“加工”，这就要构造一些样本的适当函数，它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来。 这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量 它是完全由样本所决定的量 但在实际应用时，往往不是直接 使用样本本身， 而是针对不同的问题构造样本的适 当函数， 利用这些样本的函数进行统计推断。 1. 定义 设 是来自总体 X 的一个样本， 是 的函数。 若 g 是连续函数且 g 中不含任何未知参数, 则称 是一个统计量。 一. 统计量的定义 统计量是样本的函数，它是一个随机变量。 ▲ ▲ 其中: 是 的样本值 称 为 的观察值 注 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 2. 几个常用的统计量 样本均值： 样本方差： 它反映了总体 均值的信息 它反映 了总体 方差的 信息 (1). (2). (3). 样本标准差： (4). 样本 k 阶原点矩： (5). 样本 k 阶中心矩： k=1, 2,… 它反映了 总体k 阶 矩的信息 它反映了 总体k 阶 中心矩的 信息 ~ (5)均是随机变量， ▲ ▲ 若总体 X 的 k 阶原点距 存在， 这个结论表明： ▲ 关于与总体分布函数相应的统计量 —---经验分布函数的概念与作法 请见浙大教材P161--P162 注 实质上它们是样本函数 的数字特征； 它们的观察值是具体的实数值 ， 仍称为样本均值、样本方差、样本 k 阶原点 距与样本 k 阶中心距。 则当 时有： 证明见 浙大教 材 P161 样本的 k 阶距依概率收敛到 总体的 k 阶距。 矩估计法的理论根据 3. 抽样分布 统计量作为随机变量，因而就有一定的分布，这个分布就称为统计量的 “抽样分布” 。故有： 统计量的分布称为抽样分布 二. 几个重要的分布 设 是来自正态分布 N( 0, 1 )的样本，则称统计量： 定义. 分布 1. 记为： 为服从自由度为 n 的 分布. 自由度 n 是指 中所包含独立变量的个数 分布的密度函数为： 来定义。 其中：伽玛函数 通过积分： 其密度函数的图形如下： ▲ ▲ 注 若 ，则 n=2 n=1 n=4 n=6 n=11 x f (x) 0 （参见教材 P171 图 6.1） ▲ 相互独立，则 分布的上 分位点： 称满足： 对于给定的 的点 为 分布的上 分位点。 分布的可加性： 若 且 其图形如下： ▲ ▲ 面积 = x f (x) 0 对于不同的 与 ， 有表可查 （见教材P 265 的附表4） 一般: 当 时可直接查表 当 时可用近似公式： 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 例如： 费歇R.AFisher证明 是正态分布的上 分位点 或： 记为T ～ t ( n ) 为服从自由度为 n 的 t 分布. 设 X～N ( 0, 1 ) , Y ～ , 且 X 与 Y 相互独立 ，则称随机变量： t 分布 2. 定义. t 分布是英国统计学家哥塞特（G0sset） 首先发现的，并以学生(student)的笔名 在英国的《Bi0metrike》杂志上发表的 一篇文章中提出了他的研究结果. ▲ 注 故 t 分布也称为学生分布。 t 分布的概率密度函数为： 它非常象正态 分布图形, 关于 y 轴对称 ▲ x t (x) 0 n=2 n=25 n = （参见教材