5.1中心极限定理（课件）- 《概率论与数理统计（第3版）》同步教学（机工版）

第五章知识结构图 概率论的理论结果 大数定律 中心极限定理 切比雪夫大数定理 贝努利大数 定理 辛钦 (大数)定理 独立同分布的中心极限定理 棣莫弗--拉普拉斯中心极限定理 李雅普诺夫中心极限定理 概率论中，已经知道正态分布居于头等重要的地位，许多随机变量都遵循正态分布。 第二节 中心极限定理 问题的引出 高斯 大量实验观察也表明: 自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见。 如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造 成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大， 则这种量一般都服从或近似服从正态分布。 (1). 具有有限方差的一列独立同分布的随机变量的 和 经过标准化后是以标准正态分布为极限的. -------- 在长达两个世纪内一直成为概率论研究的中心问题。数学家们经过卓越工作建立了一系列定理，解决了这一问题，并指出: 是经验之谈呢，还是确有理论依据呢？ (2). 对“由大量微小的独立的随机因素”（不要求同 分布）引起并累积成的变量，当随机因素个数 趋于无穷时以正态分布为极限。 -------- 当“同分布”为二项分布时就得出该定理的特例， --------棣莫弗---拉普拉斯定理(二 项分布的正态近似) 独立同分布的中心极限定理 或 称为 林德贝尔格----勒维中心极限定理。 李雅普诺夫中心极限定理。 一台机床已经调试良好，操作正常。但由于机床 的微小震动、工具的微小变形、原材料质量上的 微小差异、工作操作上的微小偏差等等数不清的 随机因素，它们每一个因素在总的影响中所起的 作用都是微小的。而综合起来在产品质量上就形 成一定的误差，这误差近似服从正态分布。 比如： 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 在一定条件下，大量的随机变量之和的概率分布以正态分布为极限的定理称为中心极限定理。 在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布 这一类定理都叫做中心极限定理。故有： 研究相互独立随机变量之和所特有的规律性问题。 (1). 当 n 无限增大时，这个和的极限分布是什么？ (2). 在什么条件下极限分布将是正态分布？ 研究的问题： 在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生 的总影响： 炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响： 中心极限定理的客观背景 瞄准时的误差， 所要研究的是：这些随机因素的总影响. 例如： 炮弹或炮身结构所引起的误差等等. 空气阻力所产生的误差， 一. 独立同分布中心极限定理 定理1. 设随机变量 相互独立且服从同 （林德贝尔格---勒维(Levy－Lindberg)定理） 则随机变量之和 的标准化变量 ： 一分布，其数学期望与方差: 的分布函数 对于任意 满足: 证： (略) 它要用到特征函数和傅利叶变换等等。 ▲ 定理1 表明: 虽然在一般情况下，很难求出 X1+ X2 + …+ Xn 的分布的确切形式，但当 n 很大时，可以求 出其近似分布。 注 标准正态分布。 当 n 充分大时，n 个具有期望和 方差的独立同分布的随机变量之和 近似服从 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 定理1 表达了正态分布在概率论中的特殊地位: 尽管 分布是任意的，但只要 n 充分大后，其样本平均值 的分布却是近似服从正态分布的： ▲ 或 这一结果是数理统计中大样本统计推断的基础 二. 李雅普诺夫定理 定理2. 设随机变量 相互独立，它们 具有数学期望和方差为： ( Liapunov 中心极限定理) 记 若存在正数 使得当 的分布函数 对于任意 满足: 证明：（略） 则随机变量之和 的标准化变量 ： ▲ 定理2表明， 当 n 充分大时，随机变量： 近似服从标准正态分布。 即， 近似服从正态分布 ▲ 由此， 定理2再次表达了正态分布在概率论中的 特殊地位： 无论各个随机变量 服从什么分 布， 注 n 充分大时就近似服从正态分布。 只要满足定理2 的条件， 那么它们的和当 三. 棣莫弗---拉普拉斯定理 定理3. （De Moivere—laplace 中心极限定理） 设随机变量 相互独立，且服从参数为 证明: 服从参数为 的二项分布 若随机变量