4.1数学期望（课件）- 《概率论与数理统计（第3版）》同步教学（机工版）

第四章知识结构图 随机变量的数字特征 数学期望 方差 矩与协方差矩阵 一维随机变量的数学期望 二维随机变量的数学期望 一维随 机变量的方差 二维随 机变量的方差 离散型 连续型 连续型 离散型 相关系数与协方差 第四章 随机变量的数字特征 问题的引出 引例. 某车间对工人的生产情况进行考察。 车工小张每天生产的废品数 X 是一个随机变量。 现若统计100天得： 解： 32天没有出废品; 30天每天出一件废品； 17天每天出两件废品；21天每天出三件废品; 第一节 数学期望 问：如何定义 X 的平均值？ 于是，可以得到这100天中每天的平均废品数为： 这个数能否 作为X 的平 均值呢？ 若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1. 27. 若统计 n天, (假定小张每天至多出三件废品) 显然： 一般， 得：n0天没有出废品; n1天每天出一件废品;n2天每天 出两件废品; n3天每天出三件废品. 32天没有出废品; 30天每天出一件废品； 17天每天出两件废品；21天每天出三件废品; 可以得到 n天中每天的平均废品数为： 这是以频率为 权的加权平均 由频率和概率的关系 在求废品数 X的平均值时，用概率代替频率，得平均值 ( 一个确定的数) 为： 这是以概率为 权的加权平均 用这个数作为随机变量 X 的平均值 是否合理 ？ 现问： 这是频率 则对 X 作一系列观察(试验)，所得 X 的试 验值的平均值也是随机的。 以概率为权的加权平均值作为 随机变量 X 的平均值是合理的 但是，如果试验次数很大，出现 Xk 的频率 会接近于 pk ，于是可期望试验值的平均值 接近于： 注意到： 由此： 对于一个随机变量X，若它可能取的值是： 相应的概率为 p1, p2, …, 设 X 是离散型随机变量，它的分布律为: P( X= Xk ) = pk , k=1, 2, … 离散型随机变量的数学期望 是一个绝对收敛的级数的和 如果级数 绝对收敛， 1. 定义1 一. 离散型随机变量的数学期望 的和为随机变量 X 的数学期望，记为： 则称此级数 ▲ 是个(实)数。 故常称 为 X 的均值； ▲ ▲ 的计算： 若 不绝对收敛， ▲ 推广到 二维： 为联合分布律 注 形式上是X的可能取值的 加权平均值； 本质上体现了X的真正的平均， 个质点系的重心坐标。 物理上表示了一 当 X 的可能取值为有限时， 则计算有穷和； 当 X 的可能取值为无限时， 则计算级数的和。 则称 不存在 解: 某人的一串钥匙上有 n 把钥匙，其中只有一把能 打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的 某一把去开门， 若每把钥匙试开一次后除去。 设试开次数为 X，则： P ( X= k) = E (X) 于是，由数学期望的定义得： 例1 求：打开门时试开次数的数学期望. 2 . 几种常见分布的数学期望 它的分布律为: 若随机变量 X 只能取 0 与 1 两个值，它的分布律为: 则： (1) 分布 即 (2) 二项分布 即: 设随机变量 X 服从参数为 的二项分布， 则： 时 即: 令: (3) 泊松分布 若随机变量X 的所有可能取值为： 而它的分布律(它所取值的各个概率)为： 即: 则: 即: 展开式 例2. 某银行信贷部门对前来申请贷款的两个企业进 行调查，对其产品在市场上畅销、适销和滞销 三种状况的盈利额和相应的概率作了如下估计： 甲企业: 乙企业: 产品 盈利额 概率 （ 万元） 畅销 适销 滞销 50 30 -- 20 0.15 0.6 0. 25 产品 盈利额 概率 （万元） 畅销 适销 滞销 60 36 -- 40 0.1 0.6 0. 3 问: 当其它条件均相同时，信贷部门应先批准哪个 企业的贷款更为稳妥？ 解 ： 当其它条件均相同时，应考查两个企业盈利额 的平均值的情况。 故分别求其数学期望： （万元） （万元） 甲企业的经济效益高于乙企业， 所以信贷部门应先批准甲企业 的贷款更为稳妥。 由此可见， 设 X 是连续型随机变量，其密度函数为 f (x), 在数轴上取很密的分点 x0 <x1 < x2 < …，则 X 落在小区间 [ xi , xi+1) 的概率是： 小区间[xi , xi+