6.4.1&6.4.2　平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例-2023-2024学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019必修第二册）

6.4.1&6.4.2　平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例 【考点梳理】 考点一：用向量证明线段垂直问题 考点二：用向量解决夹角问题 考点三：用向量解决线段的长度问题 考点四：向量在物理中的应用 考点五：向量与几何最值问题 考点六：向量与几何的综合问题 【知识梳理】 知识点一　向量方法解决平面几何问题的步骤 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题. (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 知识点二　向量方法解决物理问题的步骤 用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： (1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题. (2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型. (3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等. (4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题. 技巧：(1)用向量法求长度的策略 ①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解. ②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝. (2)用向量法解决平面几何问题的两种思想 ①几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解. ②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算. 【题型归纳】 题型一：用向量证明线段垂直问题 1．（2021下·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期中）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．（2023下·海南省直辖县级单位·高一校考期中）如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M.    (1)设，，用，表示，； (2)猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想. 3．（2023下·陕西西安·高一统考期末）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.    (1)请用、表示向量； (2)设和的夹角为，若，且，求证：. 题型二：用向量解决夹角问题 4．（2023下·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考期中）已知中，，，则此三角形为（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 5．（2023·全国·高一专题练习）在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2023下·福建厦门·高一统考期末）在四边形中，，，，其中，为不共线的向量． (1)判断四边形的形状，并给出证明； (2)若，，与的夹角为，为中点，求． 题型三：用向量解决线段的长度问题 7．（2022下·辽宁锦州·高一统考期末）已知，，，，点D在边上且，则长度为（    ） A． B． C． D． 8．（2022下·云南·高一云南师大附中校考期中）中，，∠A的平分线AD交边BC于D，已知，且，则AD的长为（    ） A． B．3 C． D． 9．（2021·江苏·高一假期作业）如图，在中，，，，为边的中点，且，则向量的模为（    ）    A． B． C．或 D．或 题型四：向量在物理中的应用 10．（2024下·全国·高一专题练习）平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，，与的夹角为，则大小为（    ） A． B．4N C． D． 11．（2021下·陕西渭南·高一统考期末）已知三个力，，同时作用于某质点上，若对质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（    ） A． B． C． D． 12．（2022·高一课时练习）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则（    ） A． B． C． D． 题型五：向量与几何最值问题 13．（2023下·全国·高一随堂练习）如图，在中，D为的中点，，，是圆心为C、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（2023下·山西运城·高一校联考期中）在平面四边形ABCD中，，若P为边BC上的一个动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 15．（2023下·河北邯郸·高一统考期末）在中，，，点M，N分别为边AB，AC上的动点，且，点D为斜边BC的中点，则的最小值为（    ） A．0 B．4 C． D． 题型六：向量与几何的综合问题 16．（2023下·河南信阳·高一校联考期中）