5.2 随机变量的收敛性与强大数定律（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版· 第4版）

《概率论与数理统计》 §5.2 随机变量的收敛性与强大数定律 Def. 1. 设随机变量序列 与随机变量X 则称随机变量序列 依概率收敛于X，记作 例 1. 设 均为退化分布的随机变量，且 一、概率收敛与分布收敛 显然 而 Def. 2. 设随机变量序列 与随机变量X 的分布函数分别为 在F(x) 的连续点x处，有 则称 弱收敛于 记作 也称 以分布收敛于X， 记作 或 定理1. 设{Xn},{Yn}是两个随机变量序列,a, b为两个 常数, ,则 定理2. ;反之未必成立。 证明：设x'<x<x", {Xx'}= {Xx', Xnx} ∪{Xx', Xn>x} {Xnx} ∪{Xx', Xn>x} F(x')  Fn(x) +P{Xx', Xn>x} Fn(x) +P{Xn -X >x - x'}  Fn(x) +P{|Xn –X| >x - x'} {Xnx}= {Xnx, X x"} ∪ {Xnx, X> x"} {X x"} ∪ {X> x", Xnx} Fn(x) F(x")+P{X> x", Xnx} F(x")+P{X- Xn > x" -x}  F(x")+P{|X- Xn| > x" -x} x'<x<x" -1 1 1/2 1/2 X P -1 1 1/2 1/2 Xn P 例 不妨设{Xn}与X均独立，则 (-1,-1) (-1,1) (1,-1) (1,1) 1/4 1/4 1/4 1/4 （Xn，X） P Xn-X 0 -2 2 0 不成立. 定理3. P{|Xn-c|}= P{Xn  c+ }+P{Xnc - } =1-Fn(c+ -0)+ Fn(c-) 1-1+0=0 证明. 由定理2有 反之， 定理4. (连续性定理)分布函数列{Fn(x)}弱收敛于 分布函数{F(x)}的充分必要条件为: {Fn(x)}的特征函数列 收敛于F(x)的特征函数 证明：略。 例1（辛钦大数定律） 则 证明： 设Xi的特征函数为(t),则 的特征函数为 由上述定理有 由定理3 例2 则 证明 P{Xn+Yn x}= P{Xn+Yn x,|Yn-c| <}+ P{Xn+Yn x, |Yn-c| ≥}  P{Xn x-c+ ,|Yn-c| <}+P{|Yn-c| ≥} P{Xn+Yn x}  P{Xn x-c+}+P{|Yn-c|≥} (1) P{Xn+Yn x} P{Xn+Yn x,|Yn-c| <} P{Xn x-c-,|Yn-c| <} P{Xn x-c-}- P{Xn x-c-,|Yn-c| ≥} P{Xn+Yn x}P{Xn x-c-}-P{|Yn-c|≥} (2) 比较（1）（2）得 例3（1） 则 则 证明: （2） 二、r阶矩收敛 定义3、随机变量序列 的r阶矩存在，即 且 则称 以r阶矩收敛于X，记作 说明（1） r=1,称为平均收敛； （2） r=2,称为均方收敛； 定理5 定理6 反之未必成立。 三、概率1收敛 Def. 3. 设随机变量序列 与随机变量X 则称随机变量序列 依概率1收敛于X，记作 注 概率的上连续性 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 四、强大数定律 称随机变量序列 满足强大数定律。 设X1, X2, …, Xn, …是随机变量序列，若 引理1(Borel-Cantelli Lemma) 设{An}为随机事件列， 称为事件列{An}的上限事件。 称为事件列{An}的下限事件。 记 称为事件列{An}的极限事件。 (1) (2) 事件列{An}相互独立，则 证明(1) (2) 一、概率收敛与分布收敛 二、概率1收敛 三、强大数定律 谢 谢 聆 听 $$