4.5 特征函数（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版· 第4版）

《概率论与数理统计》 一、概念 Def. 1. 设X,Y 为(, ℱ,Ｐ)概率空间中的两个实随机变量, 则称Z=X+iY 复随机变量, i2=-1. 性质1 Z=X+iY 为复随机变量,则EZ=EX+iEY Z=X+iY为复随机变量，对其进行研究等价于研究 性质2 二维r.v. (X, Y) , 有如下性质： 独立 Z1, Z2 独立 (1) Z1=X1+iY1, Z2=X2+iY2为复随机变量,则(X1,Y1) 与(X2,Y2) § 4.5 特征函数 (2) Z1=X1+iY1, Z2=X2+iY2为独立的复随机变量,则 E Z1 Z2=EZ1 E Z2 Def. 2. 设X为为(, ℱ,Ｐ)概率空间中的实随机变量,其特 征函数(c. f.)定义为 Remark1: Euler公式为 Remark2: 特征函数是关于实变量t的复值函数,由于 所以特征函数对一切实 数t 均有意义. Remark3: 特征函数只与分布有关,因此亦称为某分布的特征函数 •若离散型随机变量X的分布律为 则其特征函数为 •若连续型随机变量X的p.d.f.为 则其特征函数为 即为 的Fourier变换. 重要分布的特征函数: EX1 退化分布I(x-c)的特征函数 EX2 0-1分布B（1，p)的特征函数 EX3 二项分布B（n，p)的特征函数 EX4 均匀分布U（a,b)的特征函数 EX5 Gamma分布 的特征函数 EX6 正态分布 的特征函数 二、性质 性质1 为某随机变量的特征函数，则 (1) (3) 是连续函数. (2) 非负定，即 为复数，则有 注：上述三条性质为特征函数的特征性质， 满足这三条性质，则其必为特征函数。 (2) 非负定， 证明 (1) 显然有 (3) 先取定a,使 对于 , 取 ,当 时，有 从而 从而 是连续函数.且一致连续。 性质2 为某随机变量的特征函数，则 性质3 为某随机变量X的特征函数，则Y=c1X+c2 的特征函数为 性质4 为某随机变量X，Y 的特征函数， 若X，Y 独立，则 则 性质5 为某随机变量X 的特征函数， 存在 三、逆转公式与唯一性定理 引理1 设 则 证明:　根据Dirichlet积分： 定理1（逆转公式）设分布函数Ｆ(x)的特征函数为 且 为 Ｆ(x)的连续点，则 证明：不妨设 由于 由Fubini定理交换积分次序得到 因此由勒贝格控制收敛定理并利用引理可得 由引理1知 有界， 定理2（唯一性定理）分布函数由特征函数唯一确定 证明：应用逆转公式，在F(x)的每一连续点上，当y 沿F(x)连续点趋于 时，有 而分布函数由其连续点上的值唯一确定，定理2得证。 由唯一性定理可知，特征函数唯一确定分布，因而特征函数也完整地描述了随机变量，特别当p(x)绝对可积时，有以下更强结果。 定理3（Fourier逆变换）若 则相应的分布函数F(x)的导数存在且连续，且有 因此 证明：由逆转公式，如 为F(x)的连续点，则 由于 因此由控制收敛定理知： 四、分布函数的再生性 许多重要的分布函数具有一个有趣的性质——再生 性。这个性质用特征函数来研究最方便，下面通过几个 例子来说明。 所以 证明： 由唯一性定理知 若 且 独立，则 EX5 证明： 所以 且独立，则 EX6 证明： 所以 且独立，则 EX7 五、多元特征函数 若随机向量 的分布函数为 则它的特征函数定义为 通常记 则上式表示为 类似地有下列若干性质 （1） 在 中一致连续，且 （2）若 为 的特征函数，则 的特征函数为 （3）若矩 存在，则 则k维随机向量 的特征函数为 （4） 的特征函数为 （5）（逆转公式）若 为 的特征函数，而 为分布函数，则 其中 为任意实数，但满足唯一的要求： 落在平行线 的面上的概率等于0 （6）（唯一性定理）分布函数 由其 特征函数唯一确定。 （7） 特征函数为 而 的特征函数为 相互独立,有 的特征函数 （8） 的特征函数为 与 则 独立， 的特征函数为 满足： 这个性质的一维结果以后叙述并证明，为应用方便， 我们将常用分布的一些结果列入下表 （9）（连续性定理）若特征函数序列 收敛于一个连续函数 , 则函数 是某分布函数所对应的特征函数。 分布名称 分布或密度函数 期望 方差 特征函数 退化分布 0-1分布 二项分布 泊松分布 几何分布 C p 0 pq Exp{ict} pExp{it}+q X C p 1 X 0 1 p q p 正态分布 均匀分布 指数分布 分布 分布 分布 多元正态分布 一、密度函数与特征函数 其二阶中心矩定义为 则X 的数学期望定