4.3 协方差和相关系数（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版· 第4版）

《概率论与数理统计》 § 4.3 协方差和相关系数 问题 对于二维随机变量(X ,Y ): 已知联合分布 边缘分布 对二维随机变量,除每个随机变量各自 的概率特性外, 相互之间可能还有某种联系 问题: 用一个怎样的数去反映这种联系. 一.协方差定义与性质 若X, Y 独立,则根据数学期望的性质，有 E(XY)=EX EY 为X,Y的协方差.记为 称 定义 E{(X-EX)(Y-EY)}=E(XY)-EX EY=0 X，Y 独立 E{(X-EX)(Y-EY)}=0 数 反映了随机变量 X , Y 之间的某种关系 Cov(X, Y)=E(XY)-EX•EY. 证明 若 ( X ,Y ) 为离散型， 若 ( X ,Y ) 为连续型， 注 (1) Cov(X, Y)=Cov(Y, X); (2) Cov(X, X)=D(X); Cov(X, c)=0; (3) Cov(aX, bY)=abCov(X, Y), 其中a, b为 常数； (4) Cov(X+Y，Z)=Cov(X, Z)+Cov(Y, Z); 协方差性质 (5) 性质1 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 解 例１:设随机变量XB(12,0.5),Y N(0,1), Cov(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y 的方差与协方差 定义: 当Cov(X,Y)=0时，称X与Y 不相关。 ？ “X与Y 独立”和“X与Y不相关”有何关系？ 性质2“X与Y 独立” “X与Y不相关”,反之未必成立. 例２ 设(X, Y)在D={(X, Y)：x2+y21}上服从均匀分布，求证：X与Y 不相关，但不是相互独立的。 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 性质3 X与Y为随机变量,则下列结果等价 (1) X,Y不相关; (2) Cov(X,Y)=0; (3)E( XY)=EX EY; (4) D(X+Y)=DX+DY. 二.相关系数 1. 定义 若随机变量 X，Y的方差和协方差均存在, 且DX>0,DY>0，则 注1：若记 称为X 的标准化，易知EX*=0，DX*=1.且 称为X与Y的相关系数. 无量纲 的量 注2 X , Y 不相关 X ,Y 相互独立 X , Y 不相关 例3 设 ( X ,Y ) ~ N ( 1, 12 ; 2 ,22 ; ), 求XY 解 若 ( X ,Y ) ~ N ( 1, 12, 2, 22, ), 则X ,Y 相互独立 X ,Y 不相关 例4 设 ~ U(0,2) , X=cos  , Y=cos(  + ),  是给定的常数，求 XY 解 若 若 有线性关系 若 不相关， 但 不独立， 没有线性关系，但有函数关系 引理 E(Y 2 ) > 0 时，当且仅当 证 令 时, 等式成立 — Cauchy-Schwarz不等式. 对任何实数 t , 当E(X 2 ) > 0, 等号成立 有两个相等的实零点 即 即 等号成立 即 Y 与 X 有线性关系的概率等于1. 2. 相关系数的性质 定理 在以上假设条件下，有 (1) |XY|1； (2) |XY|=1存在常数a, b 使P{Y= aX+b}=1； (3) X与Y不相关 XY=0; 1.设(X,Y)服从区域D:0<x<1,0<y<x上的均匀分布,求X与Y的相关系数 解 D 1 x=y 例5 以上的结果说明了什么？ 解1) 2) 例6 —— X 的 k 阶原点矩 —— X 的 k 阶绝对原点矩 —— X 的 k 阶中心矩 —— X 的 方差 三. 矩 —— X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩 —— X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩 —— X ,Y 的 二阶原点矩 — X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差 —— X ,Y 的相关系数 四. 协方差矩阵 1.定义 设X1，… , Xn为n个随机变量, 记cij=Cov(Xi, Xj),i, j=1, 2, …, n. 则称由cij组成的矩阵为随机变量 X=(X1，… , Xn)T的协方差矩阵C。即 协方差矩阵C的性质： (2) C为实对称矩阵； (3) C为非负定矩阵；记作C≥0； 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 例6 设 ( X ,Y ) ~ N ( 1,4; 1,4; 0.5 ), Z = X + Y , 求  XZ 解 若 X , Y 是两个r.v., 用X 的线性函数 去逼近 Y 所产生的平均平方误差为