4.2 方差（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版· 第4版）

《概率论与数理统计》 4.2 方差 上一讲我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征. 但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的. 一、方差的定义 例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X 用坐标上的点表示如图： 若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？ 乙仪器测量结果 甲仪器测量结果 较好 测量结果的均值都是 a 因为乙仪器的测量结果集中在均值附近 又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图： 你认为哪门炮射击效果好一些呢? 甲炮射击结果 乙炮射击结果 乙较好 因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 . 为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度. 这个数字特征就是我们这一讲要介绍的 ----方差 方差是衡量随机变量取值 波动程度 的一个数字特征。 ？ 如何定义？ 引例 甲、乙两射手各打了6 发子弹,每发 子弹击中的环数分别为： 甲 10, 7, 9, 8, 10, 6, 乙 8, 7, 10, 9, 8, 8, 问哪一个射手的技术较好？ 解 首先比较平均环数 甲 = 8.3, 乙 = 8.3 有五个不同数 有 四 个 不 同 数 再比较稳定程度 甲： 乙： 乙比甲技术稳定，故乙技术较好. 进一步比较平均偏离平均值的程度 甲 乙 E [X - EX]2 若E [(X – EX)2]存在, 则称其为随机 称为 X 的均方差或标准差. 定义 即 D X = E {(X – EX)2} 变量 X 的方差, 记为D X 或 Var (X ) 两者量纲相同 DX —— 描述 r.v. X 的取值偏离平均值 的平均偏离程度 —— 数 若 X 为离散型 r.v.，分布律为 若 X 为连续型r.v. ，概率密度为 f (x) 计算方差的常用公式： 证明: 几何解释 EX x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 xn 1 2 3 4 5 6 7 n r.v. X的取值为xi, P{X=xi}=1/n 2. EX的取值相当于物理学上作一条直线，使所有 的点均匀分布在直线的两边。 3. DX的取值相当于平均误差； 4. DX=0的充分必要条件为r.v.X 的取值为常数。 1.方差非负，即DX 0； 1. 二项分布B(n, p)： 二、几个重要r.v.的方差 解法二: 设 第i次试验事件A发生 第i次试验事件A不发生 则 2. 泊松分布P()： 3. 均匀分布U(a, b)： 4.指数分布Exp()： 5. 正态分布N(,  2) 常见随机变量的方差 分布 方差 概率分布 参数为p 的 0-1分布 p(1-p) B(n,p) np(1-p) P()  分布 方差 概率密度 区间(a,b)上 的均匀分布 Exp() N(, 2) D (c) = 0 D (cX ) = c2D(X) D(c1X+c2 ) = c12D(X) 特别地，若X ,Y 相互独立，则 三、方差的性质 若 相互独立， 为常数 则 若X ,Y 相互独立 对任意常数C, D (X )  E(X – C)2 , 当且仅当C = E(X )时等号成立 D (X ) = 0 P (X = EX)=1 称为X 依概率 1 等于常数 E(X) 性质 1 的证明： 性质 2 的证明： 性质 3 的证明： 当 X ,Y 相互独立时， 注意到， 性质 4 的证明： 当C = EX 时，显然等号成立； 当C  EX 时， 则 正态随机变量的线性组合仍服从正态分布， 独立，ci为常数， 例4 已知 X 服从正态分布, E(X ) = 1.7, D(X ) = 3, Y =1 – 2 X , 求Y 的密度函数. 解 在已知某些分布类型时,若知道其期望和方差,便常能确定分布. 例5 已知X ,Y 相互独立, 且都服从 N (0,0.5), 求 E( | X – Y | ). 解 故 例6 设X 表示独立射击直到击中目标 n 次 为止所需射击的次数 , 已知每次射击中靶 的概率为 p , 求E(X ), D(X ). 解 令 X i 表示击中目标 i - 1 次后到第 i 次 击中目标所需射击的次数，i = 1,2,…, n 相互独立，且 故 本例给出了几何分布与巴斯卡 (Pascal)分布的期望与方差 例7 将 编号分别为 1 ~