4.1 数学期望（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版· 第4版）

《概率论与数理统计》 第四章 随机变量的数字特征 r.v.的平均取值 —— 数学期望 r.v.取值平均偏离均值的情况— 方差 描述两 r.v.间的某种关系的数 —— 协方差与相关系数 条件期望与条件方差 特征函数 本 章 内 容 随机变量某一方面的概率特性 都可用数字来描写 分布函数能完整地描述 r.v.的统计特性, 但实际应用中并不都需要知道分布函数，而只需知道 r.v.的某些特征. 判断棉花质量时, 既看纤维的平均长度 平均长度越长,偏离程度越小, 质量就越 又要看纤维长度与平均长度的偏离程度。 例如： 好; 考察一射手的水平, 既要看他的平均环数是否高, 还要看他弹着点的范围是否小, 即数据的波动是否小. 由上面例子看到，与 r.v. 有关的 某些数值，虽不能完整地描述 r.v.但 能清晰地描述 r.v.在某些方面的重要 特征 , 这些数字特征在理论和实践上 都具有重要意义. §4.1 数学期望 例4－1 某一班级有N个学生, 进行数学期终考试, 成绩统计如下: 学生成绩 … 得X分的人数 N1 N2 … Nk P N1/N N2/N … Nk/N 求全班数学的平均成绩.(其中N1+ N2+…+ Nk =N) 一、数学期望的定义 1.离散型r.v.数学期望的定义 数学期望的概念源于此 由此可以看出, 随机变量的均值是这个随机变量取得一切可能数值与相应概率乘积的总和, 也是以相应的概率为权重的加权平均. Def. 1. 设 X 为离散 r.v. 其分布为 的数学期望，记作 E( X ), 即 若无穷级数 绝对收敛,则称其和为 X 例2. r.v.X 为离散的分布律为 求r.v.X 的数学期望。 解 所以r.v.X 的数学期望不存在。 无穷级数 绝对收敛. 数学期望 取值，当改变求和顺序 时，不应该发生改变。 利用 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 是多少？ 解 设X 为获奖的数值, 则X 的分布律为 例3 在有奖销售彩票活动中, 每张彩票面值2元, 一千万张设有一等奖20名, 奖金20万或红旗轿车； 二等奖1000名, 奖金3000元或25寸彩电；三等奖 2000名, 奖金1000元或洗衣机；四等奖100万名, 奖金2元, 问买一张彩票获奖的数学期望(收益) X 0 2 1000 3000 20,0000 P 1-10011/100000000 100/1000 2/10000 1/10000 20/10000000 EX=200000*20/10000000+3000*1/10000 +1000*2/10000+2*100/1000 =1.1000 (1)分别化验每个人的血, 共需化验 n 次； (2)分组化验, k 个人的血混在一起化验, 若 结果为阴性, 则只需化验一次; 若为阳性, 则 对 k 个人的血逐个化验, 找出有病者, 此时 k 个人的血需化验 k + 1 次. 设每人血液化验呈阳性的概率为 p, 且 每人化验结果是相互独立的.试说明选择哪 一方案较经济. 例4 为普查某种疾病, n 个人需验血. 验血方案有如下两种： 解 只须计算方案(2)所需化验次数的期望. 为简单计, 不妨设 n 是 k 的倍数，共分成 n / k 组. 设第 i 组需化验的次数为X i, 则 Xi P 1 k + 1 若 则E (X ) < n 例如, 当 时, 选择方案(2) 较经济. 例5 X ~ B ( n , p ), 求 E( X ) . 解 例6 设 X ~ 参数为 p 的几何分布，求E ( X ). 解 特例 若Y ~ B ( 1 , p ), 则 E(Y) =p 例7 X ~ P (  ), 求 EX . 解 例8 甲乙两个射手的技术统计如下： P 甲X 8 9 10 0.3 0.1 0.6 P 乙Y 8 9 10 0.2 0.5 0.3 甲乙两个射手谁的水平高？ 设连续 r.v. X 的 p.d.f. 为 若广义积分 绝对收敛, 则称此积分为 X 的数学期望 记作 E( X ), 即 数学期望的本质 —— 加权平均，它是一个数不再是 r.v. 定义 2、连续型r.v. 数学期望 例9 X ~ N (  ,  2 ), 求 E X . 解 练习 1.X~U(a,b),求E X 2.X~Exp(),求 E X. 常见 r.v. 的数学期望 分布 期望 概率分布