3.3 二维随机变量函数的分布（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版· 第4版）

《概率论与数理统计》 §3.3 二维随机变量函数的分布 已知r.v.( X ,Y )的概率分布, g(x, y) 为已知的二元函数, 利用分布函数的定义。 问题 方法 求 Z = g( X ,Y )的概率分布 §3.3 二维 r.v.函数的分布 一、二维离散型随机变量函数的分布 Ex1 设二维r.v.( X,Y )的概率分布为 X Y pij -1 1 2 -1 0 求 的概率分布 解 根据( X,Y )的联合分布可得如下表格： P X +Y X -Y X Y Y / X ( X,Y ) (-1,-1) (-1,0) (1,-1) (1,0) (2,-1) (2,0) -2 -1 0 1 1 2 0 -1 2 1 3 2 1 0 -1 0 -2 0 1 0 -1 0 -1/2 0 故得 P X+Y -2 -1 0 1 2 P X - Y -1 0 1 2 3 P X Y -2 -1 0 1 P Y /X -1 -1/2 0 1 一般地有下列结论 设二维离散型随机变量（X，Y）的分布为 则 Z＝g(X, Y) P(X＝xi, Y＝yj)＝pij ，i, j＝1, 2, … ＝pk , k＝1, 2, … P{Z＝zk}＝ (X,Y) (x1,y1) (x1,y2) … (xi,yj) … P p11 p12 … pij … Z=g(X,Y) g(x1,y1) g(x1,y2) … g(xi,yj) … 或 则 X + Y ~ P(1+ 2) Ex.2、设 X ~ P (1), Y ~ P (2), 且独立, 证明：X ~ P(1), Y ~ P(2), 则Z = X + Y 的所有可能 取值为 0,1,2, , 可加性 EX3.设 X 与Y 相互独立, 且 X ~ B (n, p)，Y ~ B (m, p), X + Y ~ B ( n + m , p) 证 Z = X + Y 的可能取值为 0,1,2, , n + m （证明中用到 ） 则 可加性 k = 0,1,2, , n + m 所以 X +Y~ B ( n+m , p ) (1) 设 n  m , 当 k  n 时， 其中 严格证明 (2) 当 n < k  m 时 (3) 当 m < k  n + m 时 故 X + Y ~ B ( n + m , p)。 证二由二项分布背景,不难理解X+Y 表示做了n + m 重贝努里试验中事件A发生的次数. 求Z= g( X ,Y ) 的p.d.f. 方法: 先从求Z 的分布函数出发,将Z 的分布函数转化为( X ,Y )的事件 问题 已知 r.v.( X ,Y )的p.d.f. 然后对分布函数求导. 二、二维连续r.v.函数的分布 解 X与Y相互独立，故(X,Y）的概率密度为： 例4 设X, Y是相互独立的随机变量，且均服从 N(0，2)的正态分布，求Z＝ 的概率密度. 下面确定Z的分布函数FZ(z). 1）当z≤0时， 2）当z>0时， 设( X ,Y )的联合p.d.f.为 f (x,y), 则 • z • z x +y= z 或 I（ 和的分布）：Z = X + Y 特别地，若X ,Y 相互独立，则 或 或 称之为函数 f X ( z) 与 f Y ( z)的卷积 Ex5、作为和的分布的应用，我们可以证明： （1） 且X,Y独立,则 （2）若 且 相互独立， 则 证明 (1) （2） 则 由于 是数学分析中的Beta函数. 所以 即 依此类推 正态随机变量的结论 若X ,Y 相互独立, 则 相互独立 则 进一步: 说明：正态随机变量的线性组合仍服从正态分布。 是常数， 例6 已知 求 的密度,称Y服从自由度为n的 分布。 II. 差的分布 设( X ,Y )的联合p.d.f.为 f (x,y), 则 或 III. 商的分布 已知(X, Y)～f(x, y), (x, y)R2, 求 的密度。 y x G2