3.2 边缘分布､ 条件分布及随机变量的独立性（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版· 第4版）

《概率论与数理统计》 3.2.边缘分布、条件分布 与随机变量的独立性 3.2.边缘分布、条件分布 与随机变量的独立性 二维随机变量(X, Y)的分布函数F(x, y)描述了 X, Y这两个随机变量组成的整体的统计规律. 这个整体是由X和Y组成的, 所以在(X,Y)的分 一、边缘分布函数 问题：由(Ｘ,Ｙ)的分布导出Ｘ或Ｙ的分布． FX(x), FY(y), 边缘分布函数可以由(X ,Y)的分 布函数F(x,y)中, 包含了关于X和Y的一切信息, 也包含了X与Y之间关系的一切信息. 我们称 其分量X及Y的分布函数为二维随机变量(X,Y) 关于X及关于Y的边缘分布函数, 分别记作 布函数F(x, y)来确定. 称为二维随机变量(X, Y)关于Y 的边缘分布函数. 称为二维随机变量(X, Y)关于X的边缘分布函数； 定义 例1.已知(X,Y)的分布函数为 求FX(x)与FY(y)。 1、离散型r.v.的边缘分布 则其分布函数为 若随机变量X与Y的联合分布律为 (X, Y)关于X的边缘分布律 其中 同理： (X, Y)关于Y的边缘分布律 例2.已知(X,Y)的分布律为 X\Y 1 0 pi . 1 1/10 3/10 0 3/10 3/10 p. j X 0 1 Y 0 1 P 3/5 2/5 P 3/5 2/5 2/5 3/5 2/5 3/5 X\Y 1 0 1 1/10 3/10 0 3/10 3/10 求X、Y的边缘分布律。 解： 边缘分布律为 称 为(X, Y )关于X 的边缘密度函数； 设(X, Y)～f (x, y),(x, y)R2,F(x, y)为分布函数,则 2、连续型r.v.边缘分布 例3. 证明: N(1, 12; 2, 22, )的边缘密度函数fX(x)是N(1, 12)的密度函数，而fY(y)是N(2, 22)的密度函数，故二维正态分布的边缘分布也是正态分布。 为(X, Y)关于Y的边缘密度函数。 同理，称 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 同理 例4.设(X,Y)的概率密度为 (1)求常数c; (2)求关于X,Y的边缘概率密度. 解:(1)由规范性 例5 设(X, Y)服从如图区域D上的均匀分布， 求关于X的和关于Y的边缘概率密度. x=-y x=y 二、条件分布 1. 离散型随机变量的条件分布律 例6.已知(X,Y)的分布律为 X \Y -1 0 pi . -2 1/10 3/10 2/5 0 3/10 3/10 3/5 求X|Y = -1的条件分布律。 p.j 2/5 3/5 设随机变量X与Y的联合分布律为 (X, Y)～ P{X＝xi, Y＝ yj}＝ pij ，(i, j＝1, 2, … )， X和Y的边缘分布律分别为 X|Y=-1 -2 0 P ¼ 3/4 为Y＝ yj的条件下，X的条件分布律; 若对固定的j, p.j>0, 则称 同理，对固定的i, pi. >0, 称 为X＝ xi的条件下，Y 的条件分布律; P P 2 连续型随机变量的条件分布 函数定义为 定义 给定的X＝x条件下, 随机变量Y的条件分布 亦记为 设随机变量(X, Y)的分布函数为 概率密度函数为 其边缘密度函数为 ,则有 若记为X＝x条件下关于Y的条件密度函数 同理 例7.已知(X,Y)的概率密度为 x y 1 (1)求条件概率密度 (2)求条件概率 解: 解、由Ex3知， 例8 (X,Y)~ N(1, 12, 2, 22, ),求 三、随机变量的相互独立性 定义 如果对任意实数x, y, F(x, y)=FX(x)FY(y) 称随机变量X与Y独立. 这与事件的独立性 是一致的。 1.离散型r.v.的独立性 定理1.离散型r.v.(X,Y)的概率分布为 则X, Y 独立的充分必要条件为 其中 证明 根据定义X,Y 独立的充分必要条件为: Ex9、 r.v.(X,Y) 分布律 X Y -1 0 2 1 2 3 显然有 因此 X,Y相互独立。 讨论 X,Y独立性？ 定理2 设(X,Y)是二维连续型随机变量，X与Y独立的充分必要条件是 f(x, y)=fX(x) fY(y) 证明 2、连续型随机变量的独立性 根据定义X,Y 独立