3.1 二维随机变量的概念（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版· 第4版）

《概率论与数理统计》 二维随机向量的概念 随机向量的边缘分布、条件分布与独立性 多维随机向量函数的分布 第三章 随机向量及其分布 一维随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量 . 本章内容是第二章内容的推广 到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述. 在打靶时,命中点的位置是由一对r.v(两个坐标)来确定的. 飞机的重心在空中的位置是由三个r.v (三个坐标）来确定的等等. §3.1 二维随机变量的概念 定义 设为随机试验的样本空间， 则称( X , Y )为二维r.v.或二维随机向量 一、二维随机向量与分布函数定义 二维随机变量（X, Y） X 和Y 的联合分布函数 X 的分布函数 一维随机变量X 注：X 和Y 的联合分布函数实际上是 的概率。 如果把(X,Y)看成平面上随机点的坐标. 取定x, y R1， F(x, y)就是点(X, Y)落在平面上的以 (x, y)为顶点而位于该点左下方的无限矩形区域内的概率. 见右图. (x, y) 二维分布函数F(x, y)的四条基本性质 1.(非降性) F(x, y)对每个变量单调不减. 固定 x , 对任意的 y1< y2 , 固定 y , 对任意的 x1< x2 , F (x, y1)  F (x, y2) F (x1,y)  F (x2, y) 2.(有界性) x, y R1 有 0≤F(x, y)≤1 F(-∞,-∞)=0， F(+∞,+∞)=1 yR1, F(-∞,y)=0， xR1, F(x,-∞)=0， x y (x, y) x y x y x y F (x0 , y0) = F (x0+ 0 , y0 ) F (x0 , y0) = F (x0 , y0 + 0 ) 3. （右连续性） F (b,d) – F (b,c) – F (a,d) + F (a,c)  0 4. 对于任意 a < b , c < d 事实上 – F (b,c) – F (a,d) + F (a,c) F (b,d) a b c d 例1 设 讨论F (x, y)能否成为二维r.v.的分布函数？ 解 x y x+ y = 1 • (0,0) • (2,0) • (2,2) • (0,2) 故F(x, y)不能作为某二维 r.v.的分布函数. 注意 对于二维 r.v. x y a c (a,c) (a,+) (+,+) (+,c) 我们介绍了二维随机向量的概念,二维随机向量的分布函数及其性质. 二维随机向量也分为离散型和连续型, 下面我们分别讨论它们. 定义 若二维 r.v.(X ,Y )所有可能的取值为有限多对或无穷可列多对, 则称(X ,Y ) 为二维离散型 r.v. 二、二维离散型 r.v.及其概率特性 联合分布律 设( X ,Y )的所有可能的取值为 则称 为二维 r.v.( X ,Y ) 的联合概率分布,也简称 概率分布 或 分布律. ( X ,Y ) 的联合分布律 y1 yj Y X x1 xi 显然， 二维随机变量（X,Y） 离散型 i, j =1,2, … X 和Y 的联合概率分布 k=1,2, … 离散型 一维随机变量X k=1,2, … X的概率分布 设二维离散型随机向量(X,Y)的分布律为 二维离散 r.v.的联合分布函数 于是 (X,Y)的分布函数 已知联合分布律可以求出其联合分布函数; 反之, 由分布函数也可求出其联合分布律 其中 回，再从中任取一只球，每次从中取到各球是等可能的，以X,Y分别表示第一、二次取到球的号码，试求(X,Y)的联合概率分布函数。 例1 一个口袋中有三只大小完全相同的球,球 分别标号为1，2，2，从中任取一只球不放 解 依题意 X Y 1 2 2 0 1/3 1/3 1/3 1 ( X，Y )的分布律。 其分布函数为 X Y 1 2 3 4 1 0 0 0 2 0 0 3 0 4 例2、设r.v.X 在1，2，3，4中等可能取值，另一 r.v.Y在1到X中等可能取值