2.5 随机变量的函数的分布（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版· 第4版）

《概率论与数理统计》 §2.5 随机变量函数的分布 方法 利用分布函数。 问题 已知 r.v. X 的p.d.f. 或分布律. 求 随机变量Y= g ( X )的密度函数 或分布律 一、离散型随机变量函数的分布律 如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当 并项即可. 一般，若X是离散型 r.v . X的概率分布为 X ～ 则 Y=g(X) ～ 例1 已知 X 的概率分布为 X pk -1 0 1 2 求 Y 1= 2X – 1 与 Y 2= X 2 的分布律 解 Y 1 -3 -1 1 3 Y 2 1 0 1 4 X pk -1 0 1 2 Y 2 0 1 4 pk Y 1 pk -3 -1 1 3 二、连续型随机变量函数的分布 此法也叫“分布函数法”。 求 Y = g( X ) 的p.d.f. 方法： 从分布函数出发 已知 X 的p.d.f. f (x) 或分布函数 例2 、 r.v.X的密度函数为 求 的密度函数 解： 例3.设XU(-1,1),求Y=X2的分布函数与概率密度。 当y0时 当0<y<1时 解 当y≥1时 定理1 若X～fX(x),y=g(x)是单调可导函数，则 其中x=h(y)为y＝g(x)的反函数. 2、公式法：一般地 本质 2、 注意变量的取值范围。 注：1 、只有当g(x)是x的单调可导函数时，才可用以上公式推求Y的密度函数； 例4 求 的密度函数。 解： 设 即服从柯西分布 例5.已知XN(, 2),求 解： 的概率密度. 关于x严格单调,反函数为 故 例6 已知 X 的 p.d.f.为 为常数，且 a  0, 求 fY ( y ) 解 当a > 0 时， 当a < 0 时， 故 例如 设 X ~ N ( ,2) , Y = a X +b, 则 Y ~ N ( a +b, a22 ) 特别地 ，若 X ~ N (  , 2) , 则 设 X ~ N ( ,2) , Y = a X +b服从正态分布。 正态分布的线性组合仍服从正态分布。 Y ~ N ( a +b, a22 ) 例7 X ~ Exp (2), Y = – 3X + 2 , 求 解 例8 已知 X ~ N (0,1) , Y = X 2 , 求 f Y (y) 解一 从分布函数出发 当 y  0 时，FY (y) = 0； 当 y>0 时， [ y y [ ] [ 故 解二 从 p.d.f. 出发 y 即 当 y < 0 时 当 y > 0 时 故 此答案是否 对 ？ 应修正为 数，在每个区间上的反函数分别为xi=hi(y) x y x1=h1(y) y = g(x) x2=h2(y) x3=h3(y) I1 I2 I3 一般地, y=g(x)是I1， I2，…， In上单调可导函 则 Y=g(X)的概率分布密度函数为 特别地，若g(x)为单调函数，则 y = g(x) x y x 其中x=g-1(y)为y = g(x) 的反函数。 例9 设 求 f Y (y) x y (1 - y)3 解 例10 设 X 的 p.d.f.为 求 的 p.d.f. 解 故当 y  0 或 y 1 时 f Y (y) = 0 由图可知, Y 的取 值范围为(0,1) x  1 0 y • arcsiny  - arcsiny  1 x 0 当0  y < 1 时 故 注意 连续 r.v.函数的分布函数不一定是连续函数. 例如 X ~ U (0,2) 令Y=g (X) x y 1 FY (y)不是连续函数 三、随机变量的存在性定理 例.若r.v.X 的分布函数为 ,对任意的 作为F(x)的反函数.(x称为分布函数的y分位点）。 (1)若r.v. (2)若r.v. ,则 的分布函数为 F(x). 定理2. 若F(x)满足右连续性、非降性、且 则存在一个概率空间及其上的随机变量X，使X的 分布函数为F(x)。 点集，而P为直线上的勒贝格测度, (, ℱ,Ｐ) 构成一概率空间.定义随机变量 证明： 设样本空间 ℱ为[0,1]上的Borel 则 的分布函数为 定义 则X 有的分布函数为F(x)。（根据上一个实例） 设 r.v.X 服从(0,1)内均匀分布, 其中 求 r.v. Y 的 p.d.f. 问 题 X , 求其密度函数 f (x). A B C h .M 在高为 h 的ABC 中任取一点M ,