2.4 连续型随机变量（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版· 第4版）

《概率论与数理统计》 2.4 连续型随机变量 一、连续型 r.v.的概念 定义 设随机变量X 的分布函数为F ( x )， 若存在一个非负可积函数 f ( x ), 使得 则称 X 是 连续型 r.v. ，称f ( x )为r.v. X的概率分布密度函数( p.d.f. ) (2) 规范性 Th1( 密度函数的特征性质) (1) 非负性 f (x)0，(-<x<)； 注1 改变概率密度函数f(x)在个别点的函数值不影 响公式(2)规范性, 故对固定的分布函数, 概率密度 函数不是唯一的. 注2 对满足上述两条性质的任意函数必是某一随机变量的密度函数. EX 2 设随机变量X的概率密度为 求常数a. 答: 常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性 r.v.的 p.d. f. 1 证明 为概率分布密度函数。 率分布密度函数(p.d.f.)为f ( x )，则 (2) 若x是f(x)的连续点，则 (1) F ( x )为连续函数；（绝对连续函数） (3)对任意实数c，则P{X=c}＝0。 (4) Th2 设连续型r.v. X 的分布函数（c.d.f.)为F ( x ), 概 证明 (1) 所以F ( x )为连续函数； (2) 定义 （1） (3) F(x)的连续性 对任意实数c，有 P{X=c}＝0。 (4) 连续性型随机变量定义 注1 密度函数的几何意义为 如图，设试验T 为“ 随机地向边 0 1 x Y 1 长为1 的正方形内投点” 事件A 为“点投在黄、蓝两个三角形内, 不落在对角线上” , 由于点可能投在正方形的对角线上, 所以 事件A未必一定发生. 求 注2 强调 概率为0 (1) 的事件未必为不可能(必然) 事件. EX 设随机变量X的分布函数为 求 f (x) 注3 注4从上节已经得到离散型随机变量的分布函数为 其中 若记 为 的广义导数，则离散 型随机变量的密度函数可以写成 这样离散与连续型随机变量就一致起来了。 需要指出的是有下列重要的性质 1) 2) 3) 对任意连续函数 ，有 或 1)求X的分布函数F(x),2)求P{X(0.5,1.5)} 例1：已知随机变量X的概率密度为 解：当x < 0时， F (x ) = 0 当0 £ x < 1时， P{X(0.5,1.5)}=F(1.5)-F(0.5)=3/4 当1 £ x < 2时， 当x 2时， 例2、设X的密度函数为 试确定常数A,并求 二、几个常用的连续型分布 则称X在(a, b)内服从均匀分布。记作 X~U(a, b) 1. 均匀分布 U(a, b) 若r.v.X的p.d.f.为 注1 对任意实数c, d (a<c<d<b)， 都相同。 注2 均匀分布的特征性质 解释: 将(a,b)区间n等份，则落在每个小区间的 概率均为 ，当n 时，概率趋于0。 说明r.v.X 落在（a, b）区间上的任一点的可能性 都有 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 均匀分布的特征性质： X服从均匀分布U(a, b)的充分必要条件是: r.v.X 落在(a, b)区间内的概率为1, 落在(a, b)区间外的概率为0; (2) X 落在(a, b)子区间上概率与子区间长度成正比。 例3.公共汽车起点站于每时的10分、25分、55分 发车,设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻 随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的 概率。 15 45 解：设A—乘客候车时间超过10分钟 X—乘客于某时X分钟到达，则XU(0,60) 2. 指数分布 则称X服从参数为>0的指数分布,记作 X~Exp(). 若r.v.X的p.d.f.为 其分布函数为 指数分布的特征性质 证明 非负的连续型r.v.X服从指数分布的充分必要条件 是: 无记忆性,即 例 4.电子元件的寿命X(年）服从参数为0.1的指数分布 (1)求该电子元件寿命超过2年的概率。 (2)已知该电子元件已使用了1.5年， 求它还能使用两年的概率为多少？ 解 例5.某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T，设[0，t]时段内过桥的汽车数Xt 服从参数为t的泊松分布，求T的概率密度。 解 当t ≤0时， 当t >0时， =1- {在t时刻之前无汽车过桥} 于是 3. Gamma分布 说明 则称X服从参数为>0, >0的Gamma分布，记为 正态分布是应用最广泛的一种连续型分布. 正态分布在十九世纪前叶由高斯(Gauss)加以推广，所以通常称为高斯分布. 德莫佛 德莫佛（De Moivre)最早发现了二项分布的一个近似公式，这一公式是正态分布的首次露面. 4.正态分布 (I) 正态分