2.3 随机变量的分布函数及其性质（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版· 第4版）

《概率论与数理统计》 为X的分布函数(c.d.f.). 也常记为 设 X 为 r.v., x 是任意实数,称函数 一、定义 （ ] a b ] ] （ ] 用分布函数计算X落在(a,b]里的概率： §2.3、随机变量的分布函数及其性质 定理1.（分布函数的特征性质） (1)(非降性)F(x)是单调非降函数，即 (3)(右连续性) F ( x ) 右连续，即 (2)(有界性) 即F(+)=1,F(-)=0. 证明 （1） （2） （3）由于F(x)为单调非降函数，只须证明对于一 列单调下降的数列 成立 用分布函数表示概率 请 填 空 注2 任一函数F ( x ) 为分布函数的充分必要条件为：F ( x )满足上述三条性质。 注1 分布函数也可定义为 应改为左连续性。 这样定义的分布函数仍满足性质1－3，但性质3 例 F(x), G(x)为两个分布函数, 为一分布函数。 证明 例1 设离散型随机变量X的概率分布为 X 0 1 ２ P 0.2 0.5 0.3 （1）求X的分布函数F(x), 并画出F(x)的图形； （2）求 二、举例 解 (1)由于X只可能取, 0, 1, 2, 故 当x<0时, 当0≤x<1时, 当1≤x<2时, 当2≤x时, 从而归纳上述结果得 或 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0.2 0.7 1 满足分布函数的三条基本性质。 一般地，若离散型随机变量X的分布律为 从图形上可以看出F(x)的单调非降右连续的函数， X x1 x2 … xk … P p1 p2 … pk … 其中 表示对满足的 一切下标i求和。 称为单位阶梯函数， 也称为Heavyside函数。 则其分布函数为 值得注意的是, F(x)是(-,+ )上的分段阶梯函数, 开区间外, 其余各段都是左闭右开的区间. 间断点就是随机变量X的取值点, 除最左边那段是 特别地，若随机变量以概率1取常数，即 则称这个分布为单点分布或退化分布，它的 分布函数为 例2 向平面上半径为1的圆D内任意投掷一个质点, 以X表示该质点到圆心的距离. 设这个质点落在D中任意小区域内的概率与这个小区域的面积成正比, 试求X的分布函数. 解 当 x<0时, 当0≤x≤1, 可得 其中k为比例常数, 又因为P{0X 1}=1, 故k =1. 当x>1时, 综上所述, X的分布函数为 1 1 总结 一、定义 二、举例 若离散型随机变量X的分布律为 则其分布函数为 称为单位阶梯函数. 谢 谢 聆 听 $$