2.2 离散型随机变量（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版· 第4版）

《概率论与数理统计》 §2.2离散型随机变量 定义 可列个, 则称 X 为离散型随机变量. X P 或 若 一、离散随机变量的概念 若随机变量 X 的可能取值是有限个或 X ~ 或 分布律的特征性质 非负性 规范性 用这两条性质判断 一个函数是否是 概率分布 称上述公式为r.v. X 的概率分布或分布律. X 0 1 2 P 0.3 0.6 0.1 例1.在3件正品2件次品组成的产品中，任取2 件，求取到次品数X 的概率分布。 解：r.v. X 所有可能取值为0，1，2 因为 表示“所取2件全为正品”，所以 同理 例2.(几何分布)对某一目标射击，直到击中为止， X=射击次数； 记 1-p=q 解 P(X=k)=P(前k-1次未击中，第k次击中) 设每次射击命中率为p, 则求射击次数的分布律。 X 1 2 … k … p qp … … P (2) 0 – 1 分布 B(1, p) X 0 1 P 1- p p 0 < p < 1 二、常见离散r.v.的分布 (1) 退化分布 P（X=C）=1 若随机变量X取常数C的概率为1， 这时称X服从退化分布或单点分布。 应用 场合 是否超标等等. 凡试验只有两个结果, 常用0 – 1 分布描述, 如产品是否合格、人 口性别统计、系统是否正常、电力消耗 为 或 称此随机变量r.v. X的分布服从参数为p 的0 – 1 分布 或两点分布或贝努里分布，记 n 重Bernoulli 试验中, X 是事件A 在 n 次试 则称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作 下面讨论二项分布的特征性质。 (3) 二项分布 验中发生的次数 , P (A) = p ,若 （2）0–1 分布是 n = 1 的二项分布； （1）记 (3) 的充分必要条件为： X 可表示为n个独立同服从0-1分布的 随机变量之和. 二项分布的取值情况 设 .039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0.273• 由图表可见 , 当 时， 分布取得最大值 此时的 称为最可能成功次数 x P • 0 • 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 8 设 .01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 < .001 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ~ 20 • • x P • • • • • 1 • 3 • 5 • 7 • 9 • • • • 0 • 2 • 4 • 6 • 8 • 10 • 20 由图表可见 , 当 时， 分布取得最大值 0.22 • 二项分布中最可能出现次数的定义与推导 则称 为最可能出现的次数 当( n + 1) p = 整数时,在 k = ( n + 1) p与 ( n + 1) p – 1 处的概率取得最大值 对固定的 n、p, P ( X = k) 的取值呈不 对称分布 固定 p, 随着 n 的增大，其取值的分布 趋于对称 当( n + 1) p  整数时, 在 k = [( n + 1) p ] 处的概率取得最大值 例2 独立射击5000次, 命中率为0.001, 解 (1) k = [( n + 1)p ] = [( 5000+ 1)0.001] =5 求 (1) 最可能命中次数及相应的概率； (2) 命中次数不少于1 次的概率. (2) 令X 表示命中次数,则 X ~ B(5000,0.001) 小概率事件虽不易发生，但重 复次数多了，就成大概率事件. 本例 启示 由此可见日常生活中“提高警惕, 防火 由于时间无限, 自然界发生地震、海 啸、空难、泥石流等都是必然的，早晚的 同样, 人生中发生车祸、失恋、患绝 症、考试不及格、炒股大亏损等都是正常 现象, 大可不必怨天尤人, 更不要想不开而 防盗”的重要性. 事，不用奇怪，不用惊慌. 跳楼自杀. 若 其中 是