1.5 全概率公式与贝叶斯公式（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版· 第4版）

《概率论与数理统计》 §1.5 全概率公式与Bayes 公式 全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用。 综合运用 加法公式 P(AB)=P(A)+P(B) A、B互斥 乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)>0 问题：由简单事件的概率推出复杂事件的概率. 方法：复杂未知事件分解成两两互不相容事件之和. 定理1 设B为随机试验 T 中的一复杂事件， 上述公式称为全概率公式 一、全概率公式 事件A1 ，A2 ，… ，An构成一完备事件组, 则 A1 An BA1 BA2 BAn 全概率公式 B A2 应用乘法公式 称 P(Ai)为先验概率，它是由以往的经验 得到的， Ai是事件B的原因 　事件 B视为结果。 例1 甲乙两个口袋中各有3只白球,2只黑球,从甲袋 中任取一球放入乙袋中,求再从乙袋中取出一球 为白球的概率. 解 A2表示“甲袋中取出一黑球放入乙袋” 则 P(B|A1)=4/6, P(B|A2)=3/6 根据全概率公式有 P(A1)=3/5, P(A2)=2/5 设B表示“最后从乙袋中取出一球为白球”事件, A1表示“从甲袋中取一白球放入乙袋”, 50颗以上麦粒的概率。 解 以B表示“这批种子任选一颗所结的穗含有50颗以上麦粒”事件。从这批种子中任取一颗为一，二，三，四等种子的事件分别记为A1，A2，A3, A4,则 例2 播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子， 1.5%的三等种子，1%的四等种子。用一，二，三、 四等种子结出的穗含有50颗以上麦粒的概率分别为 0.5，0.15，0.1，0.05，求这批种子所结的穗含有 =0.4825 P(A1)=95.5%, P(A2)=2%, P(A3)=1.5%, P(A4)=1%, P(B|A1)=0.5, P(B|A2)=0.15 P(B|A3)=0.1, P(B|A4)=0.05， 所以 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 例3 甲、乙、丙三人向同一飞机进行射击，击中飞 机的概率分别为0.4、0.5、0.7. 如果一人击中飞机, 飞机被击落的概率为0.2；两人击中飞机，飞机被 击落的概率为0.6；三人击中飞机，飞机必被击落； 求飞机被击落的概率. 解 以B表示事件“飞机被击落”，A0 表示事件“三人均 未击中飞机”，A1表示“三人中仅有一人击中飞机”， A2表示事件“三人中有两人击中飞机”， A3表示事 件“三人同时击中飞机”，则根据题意有 P(A0) =(1－0.4)×(1－0.5) ×(1－0.7)=0.09, P(A1)=0.4×(1－0.5)×(1－0.7)+ 0.5×(1－0.4) ×(1－0.7)+0.7×(1－0.4)×(1－0.5) =0.36, P(A2)=0.4×0.5×(1－0.7)+0.5×0.7×(1－0.4)+ 0.4×0.7×(1－0.5)=0.41, P(A3)=0.4×0.5×0.7=0.14 P(B|A0)=0, P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1, 根据全概率公式有 从上述几个例子可以看出：将结果视为B， 然后找出原因Ai, 再利用全概率公式。 二、Bayes公式 贝叶斯 Thomas Bayes，英国人.1702年 出生于伦敦，做过神甫.1742年成为英 国皇家学会会员.1763年4月7日逝世. 贝叶斯在数学方面主要研究概率论.他 首先将归纳推理法用于概率论基础理论，并创立了贝叶斯 统计理论，对于统计决策函数、统计推断、统计的估算 等做出了贡献.1763年发表了这方面的论著对于现代概率 论和数理统计都有很重要的作用.贝叶斯的另一著作《机 被沿用至今. 贝叶斯公式是他在1763年提出来的. 会的学说概论》发表于1758年.贝叶斯所采用的许多术语 底患了A1，A2，…,An中的哪一种病,以便对症下药. 例4（专家系统）医疗诊断中，为了诊断病人到 对病人进行观察检查，症状记为事件B P(Ai)，表示生Ai病的概率 P(B|Ai)，表示生Ai病有症状B的概率 P(Ai|B)，表示症状B由Ai引起的概率 若P(Ai|B), i=1,2,…,n中,最大的一个是P(A1|B), 我们便认为A1是生病的主要原因,下面的关键是: Bayes公式 Remark: 后验概率 计算 P(Ai|B), i=1,2,…,n 上述公式称为Bayes公式. 定理1－2设B为一事件且P(B)>0,事件A1, A2, …, An构成一完备事件组，且P(Ai )>0, i=1,2,…n， 则有 解 以B表示消费者买到一只次灯泡,A1,A2,A3分别表示买到的灯泡是甲、乙、丙厂生产的灯