1.4 条件概率与事件的独立性（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版· 第4版）

《概率论与数理统计》 §1.4 条件概率与事件的独立性 A发生的概率，记为P(A|B). 在概率论中，有时不仅需要研究事件A发生的概 率P(A)，还需要考察另一个事件B发生条件下事件 为了定义条件概率，首先研究重复试验，设随 机试验T的样本空间为,A, B为T的事件. 在n次重 复试验中,事件B、AB发生的频数分别为(B),(AB), 一、条件概率 其中(AB)也是在事件B发生条件下A发生的频数. 因此,在B发生的条件下, A发生的频率为 由此引入条件概率的定义: 另一方面,几何概率角度出发, 注1. 如果B＝, 则条件概率即为前面所定义的概率. 如果B≠ ,则条件概率相当于将样本空间缩小为B. 注2. 事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率. 设A、B为两事件, P ( B ) > 0 , 则 定义 称 为事件 B 发生的条件下事 件 A 发生的条件概率，记为 （1） 古 典 概 型: 可用缩减样本空间法; （2） 其 它 概 型: 用定义与有关公式; 注3.条件概率的计算方法 条件概率也是概率, 故具有概率的性质： 非负性 规范性 可列可加性 上述三条性质对应于概率的公理化定义的三条性质,除此以外有下列性质: 有限可加性 可减性 是连续的. 例1 考虑有两个小孩的家庭,问其中至少有一个女 孩的家庭中, 另一小孩也是女孩的概率有多大? (假设生男,生女是等可能的) 单调性 加法公式 半可加性 B={至少有一个女孩家庭} ={(男,女)(女,男)(女,女)} 于是所求概率为 AB={至少有一个为女孩家庭中, 另一个小孩也是女孩} ={(女,女)} 解：根据题意样本空间为 Ω={(男,男)(男,女)(女,男)(女,女)} 例2 一类动物由出生起活到20或20岁以上的, 概率为0.8,活到25岁以上的概率为0.4,现假设此 类动物中有一动物为20岁,问其活到25岁以上的 解：设B:活到20或20岁以上; A:活到25岁以上 概率是多少? 求P(A|B) AB 利用条件概率求积事件的概率即乘法公式 推广 二、乘法公式 例3 一批产品共10件，其中3件为次品，每次从中任取一件不放回，问第三次才取到正品的概率等于多少？ 解 A1表示第一次取得次品; A2 表示第二次取得次品 A3表示第三次取得正品，则 P(A3| A1 A2)＝7/8； 根据乘法公式有 P(A1 A2 A3)=P(A1)P(A2| A1)P(A3| A1 A2)＝0.0583. P(A1)=3/10; P(A2|A1)=2/9; 例4(Polya’s Model)一罐中有b只黑球, r只红球, 每次从中任取球放回，并放入同色球c只,共取了n 次球,问前面n1次摸到黑球,后面n2=n-n1次摸到红球的概率等于多少? A1表示第一次取得黑球;… An1 表示第n1次取得黑球; 解 An 表示第n次取得红球; An1+1表示第n1+1次取得红球;… 这个模型曾被Polya作为传染病的数学模型，特别地，c=0表示有放回的摸球； c=-1表示不放回的摸球。 例5 已知袋中有3只红球, 2只白球.从袋中有放回地 B表示“第二次取得红球”,求P(B), P(B|A). 解 三、事件的独立性 取球两次, 每次取1球, 用A表示“第一次取得红球”; 事件 A 发生与否对 B 发生的概率没有影 定 义 设 A , B 为两事件，若 则称事件A与事件B 相互独立 响可视为事件A 与B相互独立. 注1. 两事件 A 与 B 相互独立是相互对称的 若 注2.若 则“事件 A 与 事件 B 相互独立”和 “事件 A 与 事件 B 互斥(互不相容)” 不能同时成立 (自行证明) 注3.若 两事件相互独立的性质 试证其一 事实上 性质1. A, B独立 独立 独立 独立. 性质2 . A、B两个事件独立，则 三事件 A, B, C 相互独立,是指下面 的关系式同时成立： (1) (2) 定义 注2)仅满足(1)式时,称 A, B, C 两两独立,也称 A, B, C 为两两独立的事件组. 注1)三事件A, B, C 相互独立,要求满足(1)(2)式, 也称 A, B, C 为相互独立的事件组. 注3) 关系式(1) (2)不能互相推出. A, B, C 相互独立 A, B, C 两两独立 白、黑色，第四面涂有红、白、黑三种颜色 例6 有一均匀的正四面体, 三面分别涂有红、 将四面体向上抛掷一次, 观察向下一面出现的颜色。 设事件 A 红色 B 白色 C 黑色 则 本例说明