第四章 数据的描述2（课件）- 《《统计学（第二版） 》同步教学（人民大学版）

统 计 学 第四章 数据的描述2——重要的指标 第四章 数据的描述2---重要的指标 §1 集中趋势的度量 §2 离散趋势的度量 §3 偏态与峰度的度量 §4 数据的标准化处理 §1 集中趋势的度量 集中趋势 是指一组数据向某中心值靠拢的倾向，是描述数据分布的一个重要特征。 集中趋势的测度 实际是对一组数据的一般水平代表值或中心值的测度。 §1 集中趋势的度量 §1.1 均值 §1.2 中位数 §1.3 众数 §1.4 几何平均数 §1.5 均值、中位数、众数的比较 §1.1 均值 均值(Mean) 又称平均数,是一组数据大小相互抵消的结果，可以看作是数据集的重心。 是最主要的集中趋势测度统计量。 适用于定量变量的取值，一般用符号 表示。 §1.1 均值 1．未加权的算术平均数 未经分组整理的原始数据，其算术平均（arithmetic mean)的计算就是直接将一组数据的各个数值相加除以数值个数，称为简单算术平均数。 设一组样本数据为 、 、 、 ，则算术平均数的计算公式为： §1.1 均值 【例4.1】根据表中给出的某高校统计学院20名同学的统计学期末成绩，计算其平均成绩。 表4-1 30名被访者的月收入水平分组数据 单位：分 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 统计学成绩 53 94 91 72 76 53 100 82 100 88 94 66 57 51 63 92 83 97 64 55 解：根据表中的数据，使用公式有 所以20名学生的统计学期末的平均成绩是76.55分。 §1.1 均值 §1.1 均值 2．加权的算术平均数 根据分组整理的数据计算的算术平均数，要以各组变量值出现的次数或频数为权数计算加权算术平均数。 假设样本数据被分成组，样本数据各组变量的代表值用m1、m2、…、mk 表示，各组变量值出现的频数用f1、f2、…、fk ，则加权算术平均数 的计算公式为： §1.1 均值 如果是单变量分组，上式中的代表值就是各组的分组变量值； 如果是组距分组，上式中的代表值就是各组的组中值。 加权算术平均数其数值的大小，不仅受各组变量值大小的影响，而且受各组变量值出现的频数即权数大小的影响。 §1.1 均值 算术平均数的数学性质 ： 性质1 各变量值与其算术平均数的离差之和等于零，即： 性质2 各变量值与其算术平均数的离差平方和最小，即： 或 最小值 或 最小值 §1.1 均值 【例4.2】根据表中给出的某项调查中30名被访者的月收入水平分组数据，计算其平均收入水平： 表4-2 30名被访者的月收入水平分组数据 收入水平分组（元） 组中值 被访者人数 （人） 1000-2000 1500 3 4500 2000-3000 2500 7 17500 3000-4000 3500 13 45500 4000-5000 4500 5 22500 5000-6000 5500 2 11000 合计 —— 30 101000 §1.1 均值 解： （元） 所以30名被访者的平均月收入水平是3366.67元。 §1.1 均值 均值的特点 ： 均值一般用于寻找定量数据的中心代表值，并不适用于定性数据。 均值的优点在于它对变量的每一个取值都加以利用。 均值的缺点在于其统计量的稳健性较差，即容易受到极端值的干扰。 §1.2 中位数 中位数（median） 是将变量取值按大小顺序排列后，处于中间位置的那个变量值。 适用于定量变量，以及定性变量中的顺序变量取值的集中趋势测度。不适用于定性变量中的分类变量取值。一般用Me表示。 §1.2 中位数 1．中位数的确定 变量的取值数据规模较小时，将数据按大小排列。 当数据个数N为奇数时，处在 位置上的变量取值大小即为改组数据的中位数； 当数据个数N为偶数时，处在 和 位置上两个变量取值的简单算术平均数即为中位数。 §1.2 中位数 当变量的取值数据规模较大时，将数据按单变量分组或组距分组，得到频数分布 。对频数分布做向上累计或向下累计： 当 为偶数时，第 个变量值所在的组为中位数所在的组。 当 为奇数时，第 个变量值所在的组为中位数所在的组。 如果是单变量分组，可以该组标志值作为中位数。 如果是组距分组，则采用如下公式近似计算得到计算公式 下限公式： 上限公式： §1.2 中位数 【例4.3】给出的