第六章 参数估计（课件）- 《《统计学（第二版） 》同步教学（人民大学版）

第六章 参数估计 第六章 参数估计 §1 抽样分布 §2 点估计 §3 区间估计 §4 一个总体参数的区间估计 §5 两个总体参数的区间估计 §6 样本量 §1 抽样分布 §1.1 抽样的基本概念 §1.2 样本均值的抽样分布 §1.3 中心极限定理 §1.1 抽样的基本概念 在抽样问题中，我们把研究对象的全体称为总体（population），总体的数量特征就是总体参数（Population parameter）。 为了解总体的情况，我们从总体中随机抽取的个个体称为样本（sample），样本的数量特征就是统计量（statistics），它与总体参数相对应。统计量是关于样本数据的函数，它不依赖任何未知参数，利用调查数据，就能直接计算得到统计量的值。 §1.1 抽样的基本概念 设 是从总体中抽取的容量 为的一个样本，根据样本构造一个函数 ，该函数便是一个统计量，也称为样本统计量。 当调查得到样本数据的值 时，代入 ，计算出 的数值，就得到了一个具体的统计量值。在这里，大写的 表示变量，小写的 表示变量的具体取值，相应的， 表示统计量，而 则表示统计量的一个具体结果。 §1.1 抽样的基本概念 设 是从总体中抽取得到一个样本，则： 样本均值为 样本方差为 样本均值和方差是最常见的统计量。 §1.2 样本均值的抽样分布 设总体 服从正态分布 ， 为 个互相独立且与总体同分布的随机变量，则样本均值 服从期望为 ，方差为 的正态分布。记作： 上面的结果表明，样本均值的期望与总体均值相同，而方差则变为原来的 ，这说明用样本均值去估计总体均值，平均来说没有偏差（因为期望相等），当样本量 增加时，样本均值的方差变小，即用样本均值 估计总体均值 会更加精确。 §1.3 中心极限定理 设总体 的分布未知，但已知均值为 ，方差为 ，抽取得到一个容量为 的样本，当 足够大（我们通常要求 ）时，则样本均值 近似服从期望为 ，方差为 的正态分布。 中心极限定理告诉我们：不管总体服从什么样的分布，只要样本量足够大，样本均值都近似服从正态分布。 §2 点估计 参数估计的方法分为： 点估计 区间估计 点估计：直接以样本统计量的某个取值作为总体参数的估计值 区间估计：给出一个区间，说起来留有余地，不像点估计那么绝对 §2 点估计 §2.1 点估计 §2.2 点估计优劣的评价标准 §2.1 点估计 点估计（point estimation）就是直接以样本统计量的某个取值作为总体参数的估计值。 在统计中经常使用的点估计量有：用样本均值 直接估计总体均值 ，用样本比例 直接估计总体比例 ，用样本方差 直接估计总体方差 等。 §2.1 点估计 【例6.1】已知某种灯泡的寿命 ，其中 和 都是未知的。现随机抽取,10只灯泡，测得寿命（单位：小时）分别为1502，1453，1567，1510，1500,1468,1582,1534, 1450,1504，试估计 和 。 §2.1 点估计 解： 因为 是全部灯泡的平均寿命， 为样本平均寿命，根据点估计的思想，用 估计 ，用 估计 。由于 所以， 和 的估计值分别为1507小时和1970.222小时。 §2.2 点估计优劣的评价标准 评价估计量好坏的标准： 无偏性 有效性 一致性 §2.2 点估计优劣的评价标准 1.无偏性定义 如果 的期望等于未知参数 ，即 对一切可能的成立， 则称 为 的无偏估计。 §2.2 点估计优劣的评价标准 【例6.2】设 为从一均值为 的总体中抽取的样本，请验证 的如下估计量的无偏性： §2.2 点估计优劣的评价标准 解： 由于 ，容易验证 ， 。因而， 都是 的无偏估计。 然而， ， ， 因而它们都不是 的无偏估计。 §2.2 点估计优劣的评价标准 2.有效性定义 设 和 均为参数 的无偏估计，如果有 则称