第九章 方差分析（课件）- 《《统计学（第二版） 》同步教学（人民大学版）

统 计 学 第九章 方差分析 第九章 方差分析 §1 基本问题 §2 单因素方差分析 §3 双因素方差分析 2 §1 基本问题 §1.1 方差分析概念 §1.2 方差分析的思想 §1.3 方差分析中的假定 3 §1.1 方差分析概念 方差分析 方差分析是通过检验各总体的均值是否相等来判断分类型自变量对数值型因变量是否有显著影响。 方差分析不仅可以提高检验的效率，同时由于它是将所有的样本信息结合在一起，也增加了分析的可靠性。 4 §1.1 方差分析概念 【例9.1】某饮料生产企业研制出一种新型饮料。饮料的颜色共有四种，分别为橘黄色、粉分、绿色和无色透明。这四种饮料的营养含量、味道、价格、包装等可能影响销售量的因素全部相同。现从地理位置相似、经营规模相仿的五家超市收集了前一时期该饮料的销售情况，如表9—1所示。试分析饮料的颜色是否对销售量产生影响。 表9—1 不同颜色饮料在五家超市的销售情况 单位：箱 5 §1.1 方差分析概念 解题思路： 要判断“颜色”对“销量”是否有显著影响，实际上就是要分析四种颜色之间销量是否有显著差异，最终被归结为检验这四种颜色饮料销量的均值是否相等。 如果它们的均值相等，即四种不同颜色饮料之间的销售量没有显著差异，就意味着“颜色”对销售量没有显著影响；反之，如果它们的均值不全相等，则意味着“颜色”对销售量是有显著影响。 6 §1.1 方差分析概念 因素（因子） 在方差分析中，被检验是否有影响作用的对象称为因素或因子。 水平（处理） 因素的不同表现称为水平或处理。 观测值 每个因子水平下得到的样本数据称为观测值。 7 §1.2 方差分析的思想 1．两类误差 方差分析名称来源 方差分析两类误差（从误差来源的角度） 随机误差 系统误差 方差分析两类误差（从总误差分解的角度） 组内误差 组间误差 通常数据误差分解是从总误差分解的角度来研究的。 8 §1.2 方差分析的思想 总平方和 如果用平方和表示数据的误差，那么反映全部数据误差大小的平方和称为总平方和，记为SST。 误差平方 反映组内误差大小的平方和称为组内平方和，也称为误差平方和或残差平方和，记为SSE。 因素平方和 反映组间误差大小的平方和称为组间平方和，也称为因素平方和，记为SSA。 9 §1.2 方差分析的思想 数据误差分解过程如图9—1所示。 10 图9—1 误差分解示意图 §1.2 方差分析的思想 2．误差分析 组间均方、组内均方 组间误差、组内误差经过平均后的数值分别称为组间均方、 组内均方。 因素（自变量）与因变量的关系判定 如果因素（自变量）对因变量没有影响，那么在组间误差中只包含随机误差，而没有系统误差，这时组间均方与组内均方之比就会接近1； 如果因素（自变量）对因变量有影响，则组间误差中除包含随机误差外，还会包含系统误差，这时组间均方就会大于组内均方，二者的比值就会大于1。当比值大至某种程度时，就认为因素的不同水平之间存在着显著差异，也就是自变量对因变量有显著影响。 11 §1.3 方差分析中的假定 方差分析三个假定 1. 每个总体都应服从正态分布 2. 每个总体的方差相等 3. 观测值彼此独立 12 §2 单因素方差分析 §2.1 数据结构 §2.2 分析步骤 13 §2.1 数据结构 首先引入单因素方差分析的数据结构问题。进行单因素方差分析时，所要求的数据结构形如下表9—2： 表9—2 单因素方差分析的数据结构 14 §2.2 分析步骤 单因素方差分析的步骤 1．提出假设，即设立原假设与备择假设 2．构造检验统计量及确定分布 3．依据样本信息汁算该检验统计量的实际值 4．设定检验的显著性水平 并确定临界值 5．比较理论值（临界值）与实际值大小，进行决策 15 §2.2 分析步骤 1．提出假设，即设立原假设与备择假设 各因子水平下因变量的均值相等（因子影响作用不显著） 不全相等 各因子水平下因变量均值不全相等（因子的影响作用显著） 其中， 为因素第 个水平下的总体均值。 16 §2.2 分析步骤 2．构造检验统计量及确定分布 总平方和 反映全部数据误差大小的平方和称为总平方和，记为SST。 组间平方和 反映组间误差大小的平方和称为组间平方和，也称为因素平方和，记为SSA.。 组内平方和 反映组内误差大小的平方和称为组内平方和，也称为误差平方和或残差平方和，记为SSE。 17 §2.2 分析步骤 下式可以用于验证计算的正确性： 自由度 SST的自由度为n-1； SSA的自由度为r-1； SSE的