8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积（导学案）-【上好课】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 导学案 学习目标 1．通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式． 2．能运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题． 重点难点 重点：掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式和应用； 难点：棱台的体积公式的理解. 课前预习 自主梳理 知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体 的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的 的面积的和． 知识点二 棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体 体积 说明 棱柱 V棱柱＝Sh S为棱柱的 ，h为棱柱的高 棱锥 V棱锥＝Sh S为棱锥的 ，h为棱锥的高 棱台 V棱台＝h(S′＋＋S) S′，S分别为棱台的 ，h为棱台的 自主检测 1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)棱锥的体积等于底面面积与高之积．(　　) (2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的．(　　) (3)沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积相等．(　　) 2.（2023·高一课时练习）长方体一个顶点上的三条棱长分别为3，4，a，表面积为108，则a等于（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 3.（2022·山东枣庄·统考三模）若圆锥的母线长为，侧面积为，则其体积为（    ） A． B． C． D． 4.（2022·高一课前预习）长方体同一顶点上的三条棱长分别是2，3，4，则该长方体的表面积是（    ） A．36 B．24 C．52 D．26 5.（2023·湖南娄底·统考模拟预测）如图，在三棱柱中，底面ABC，，点D是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（    ） A．1:2 B．4:5 C．4:9 D．5:7 新课导学 学习探究 环节一 创设情境，引入课题 【实际情境】在生产生活中，会遇到包装盒用纸量的计算问题 用纸量的大小跟围成几何体各个面的面积密切相关． 规定：多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和． 【问题】：在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？ 【探究】棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？ 【思考1】棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？ 在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？ 1． 棱柱、棱锥、棱台的表面积 问题1．怎么求柱体、锥体、棱台的表面积？ 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和． 例1 如图8.3-1，四面体的各棱长均为，求它的表面积． 环节二 观察分析，感知概念 2． 棱柱、棱锥、棱台的体积 问题2．柱体、锥体、棱台体的体积公式是什么？ 我们以前已经学习了特殊的棱柱——正方体、长方体的体积公式，它们分别是 （是正方体的棱长）， （，，分别是长方体的长、宽、高）． 一般地，如果棱柱的底面积是，高是，那么这个棱柱的体积 ． 棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离． 环节三 抽象概括，形成概念 如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍．因此，一般地，如果棱锥的底面面积为，高为，那么该棱锥的体积 ． 棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离． 由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式 其中，分别为棱台的上、下底面面积，为棱台的高． 棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离． 环节四 辨析理解，深化概念 【思考3】棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？ 思考 观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式 ，，， 它们之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？ 环节五 概念应用，巩固内化 例2 如图8.3-2，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m，公共面是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到0.01m3）？ ． 环节六 归纳总结，反思提升 （一）求几何体的表面积 （二）求几何体体积的常用方法 环节七 目标检测，作业布置 完成教材：课本116页练习，第119页习题8.3第1、6题. 备用练习 1.（2023·江西·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）若圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角