8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积（教学设计）--【上好课】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 教学设计 1、 课时教学内容 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课主要学习棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的表面积、体积公式及其求法，还有简单组合体的体积的求解。 教材从分析简单几何体的侧面展开图得到了它们的表面积公式，体现了立体问题平面化的解决策略，这是本节课的灵魂，也是立体几何的灵魂，在立体几何中，要注意将立体问题转化为平面几何问题，在教学中应加以重视。 2、 课时教学目标 1．通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式． 2．能运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题． 3、 教学重点、难点 1.教学重点：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积； 2.教学难点：求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积． 4、 教学过程设计 环节一 创设情境，引入课题 【实际情境】在生产生活中，会遇到包装盒用纸量的计算问题 用纸量的大小跟围成几何体各个面的面积密切相关． 规定：多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和． 【设计意图】表面积的求解不是凭空产生的，用包装盒用纸问题这一实例，让学生感受“求表面积”这样的问题是客观存在的，是源于实际生活的. 【问题】：在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？ 【设计意图】通过复习回顾，让学生感受到求解表面积的转化思想，进而用于解决本节课的新问题情境。 【探究】棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？ 【思考1】棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？ 在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 1． 棱柱、棱锥、棱台的表面积 问题1．怎么求柱体、锥体、棱台的表面积？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和． 例1 如图8.3-1，四面体的各棱长均为，求它的表面积． 分析：因为四面体的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍． 解：因为是正三角形，其边长为，所以． 因此，四面体的表面积． 环节二 观察分析，感知概念 2． 棱柱、棱锥、棱台的体积 问题2．柱体、锥体、棱台体的体积公式是什么？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 我们以前已经学习了特殊的棱柱——正方体、长方体的体积公式，它们分别是 （是正方体的棱长）， （，，分别是长方体的长、宽、高）． 一般地，如果棱柱的底面积是，高是，那么这个棱柱的体积 ． 棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离． 环节三 抽象概括，形成概念 如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍．因此，一般地，如果棱锥的底面面积为，高为，那么该棱锥的体积 ． 棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离． 由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式 其中，分别为棱台的上、下底面面积，为棱台的高． 棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离． 环节四 辨析理解，深化概念 【思考3】棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？ 【设计意图】通过初中正方体，长方体体积公式，归纳出求解棱柱的体积公式。然后将棱柱分解，进而求出棱锥的体积公式。接着将棱台看成大棱锥截取一个小棱锥，通过一些相似知识的应用，进而得出棱台的体积公式。过程中让学生体会化归的基本思想方法，并且在探究棱柱，棱锥，棱台的基础上，感受求解体积问题的一般方法。最后再从形和数的角度让学生感受棱柱，棱锥，棱台的结构特征及其联系。 思考 观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式 ，，， 它们之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？ 环节五 概念应用，巩固内化 例2 如图8.3-2，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m，公共面是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到0.01m3）？ 分析：漏斗由两个多面体组成，其容积就是两个多面体的体积和． 解：由题意知 ， ． 所以这个漏斗的容积 ． 环节六 归纳总结，反思提升 （一）求几何体的表面积 解题技