6.2三角变换的应用（第5课时）（教学课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

第 6 章 三角 2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册） 6.2三角变换的应用（第5课时） 学习目标 1.能用二倍角公式导出半角公式，能用两角和与差的三角函数公式导出积化和差、和差化积公式．体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．(重点) 2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．(难点、易错点) 情境导入 同学们知道电脑输入法中的“半角”和“全角”的区别吗？半角、全角主要是针对标点符号来说的，全角标点占两个字节，半角占一个字节，但不管是半角还是全角，汉字都要占两个字节.事实上，汉字字符规定了全角的英文字符、图形符号和特殊字符都是全角字符，而通常的英文字母、数字键、符号键都是半角字符. 任意角中是否也有“全角”与“半角”之分，二者有何数量关系？ 提示　 是α的半角，α是2α的半角. 想一想 在学习两角和与差的公式 、 二倍角公式的基础上 ， 我们可以推导出更多的三角恒等关系 ． 如果已知角 α 的正弦 、 余弦及正切值 ， 用二倍角公式就可以得到角 ２ α 的相应值 ． 反之 ， 如果已知角 ２ α 的正弦 、 余弦及正切值 ， 也可以得到角 α 的相应值 新课讲解 例14.试以表示 (提示：与有什么关系？) 解：是的二倍角.在倍角公式中， 以代替，以代替，得： ∴① 在倍角公式中， 以代替，以代替，得： ∴② ∴将①②两个等式的左右两边分别相除，得： 从例 １４ 不难得到以下公式 ： 它们分别叫做半角的正弦 、 余弦和正切公式 ． 其中 ， 公式右侧的 “ ± ” 号 ， 根据角所在的象限由左侧值相应的符号确定 例如 ， 因为 １５° 是第一象限的角 ， 所以 ｓｉｎ１５°＞０ ， 从而 半角的正切公式还可以表示为 这样 ， 半角的正切公式又可以表示为 . 证明： 例16.求证： 证明：(1)因为 将以上两式的左右两边分别相加，得： 即 思考：这两个式子的左右两边在结构形式上有什么不同？ 类似地 ， 利用两角和与差的正弦 、 余弦公式 ， 就可以得到下面一组公式 ： 它们统称为 积化和差公式 ．       例 类似地 ， 我们可以得到下面一组公式 ： 它们统称为 和差化积公式 ． 积化和差公式与和差化积公式相互等价 ， 都可由两角和与差的正弦 、 余弦公式通过恒等变换得到 ． 这两组公式常用来化简比较复杂的三角表达式 ．         课本练习 随堂检测 和角公式 差角公式 二倍角公式 三倍角公式 半角公式 万能公式 积化和差公式 和差化积公式 化一公式 公式之间的关系 需要掌握的公式： 和角公式（3个）+差角公式（3个）+二倍角公式（5个）=11个 课堂小结 例15.求证： . . 【答案】　C 1．若cos α＝eq \f(2,3)，α∈(0，π)，则cos eq \f(α,2)的值为(　　) A．eq \f(\r(6),6)　　　　　 B．－eq \f(\r(6),6) C．eq \f(\r(30),6) D．－eq \f(\r(30),6) 【解析】　由题意知eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴cos eq \f(α,2)>0， cos eq \f(α,2)＝eq \r(\f(1＋cos α,2))＝eq \f(\r(30),6). 【答案】　A 2．已知cos α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π，2π))，则sin eq \f(α,2)等于(　　) A．eq \f(\r(5),5) B．－eq \f(\r(5),5) C．eq \f(4,5) D．eq \f(2\r(5),5) 【解析】　由题知eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)π，π))，∴sin eq \f(α,2)>0，sin eq \f(α,2)＝eq \r(\f(1－cos α,2))＝eq \f(\r(5),5). 【答案】　C 3．已知sin α－cos α＝－eq \f(5,4)，则sin 2α的值等于(　　) A．eq \f(7,16) B．－eq \f(7,16) C．－eq \f(9,16) D．eq \f(9,16) 【解析】　由sin α－cos α＝－eq \f(5,4)， (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝eq \f(25,16)，所以sin 2α＝－eq \f(9,