ch2 随机变量及其分布（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（电工版·2023）

第二章 随机变量及其分布 随机变量 离散型随机变量 随机变量的分布函数 连续型随机变量 随机变量函数的分布 在随机现象中，大部分问题与数值密切相关。例如，在产品检验问题中出现的废品数、在电话问题中某段时间的呼叫次数、灯泡的寿命等都与数值有关，这类随机试验中的样本空间是一个数集；有些初看与数值无关的随机现象也常用数值描述。 量化描述随机现象的结果有利于采用函数、微积分等数学工具对随机现象的观察结果进行处理，在此引入随机变量刻画随机现象发生的结果，研究其取值的统计规律。 2.1 随机变量的概念 案例2.1.1 某市行政服务中心对工作人员建立了评价机制，以调查市民对某工作人员的服务态度、服务水平及服务效率等的综合评价，评价机制中，将工作人员的评价分为“非常差” “差”“一般”“好”“非常好”5个等级，显然与数值没有关系，不足以由此得到量化评价，那么该如何为此设计一种量化的评价标准呢？ 解：对任何工作人员来说，获得这 5 个评价等级都是有可能的，不妨假设对应这 5 个等级的得分分别为-2 、 -1 、 0 、 1 、 2 ，这相当于引入了一个定义在样本空间={非常差, 差, 一般, 好, 非常好}上的变量 ，其中 引例 由于试验结果的出现是随机的，所以变量X的取值也是随机的（取值范围确定），故称为随机变量，每个样本点对应取到唯一的实数，这个对应关系显然可以作为对工作人员的量化评价标准。这里需要说明的是，我们完全可以定义另一种对应关系。 定义2.1.1. 设Ω={ω}是试验E的样本空间，如果对每个ω∈Ω,总有唯一一个实数X(ω)与之对应，这样就得到一个定义在Ω上的实数单值函数X(ω)，称X(ω)为E的一个随机变量。随机变量常用X、Y、Z 或 、、等表示。 顾名思义，随机变量就是“其值随机会而定”的变量，正如随机事件是“其发生与否随机会而定”的事件。一个随机试验有许多可能的结果，到底出现哪一个要看机会，即有一定的概率。最简单的例子如掷骰子，掷出的点数X是一个随机变量，它可以取1,…,6等6个值。到底是哪一个，要等掷了骰子以后才知道。因此又可以说，随机变量就是试验结果的函数。 2.1 随机变量的概念 4 随机变量是样本空间Ω到 R 的一个单值函数，它与高等数学的函数有一定差异： （1）随机变量的定义域是样本空间Ω。 （2）随机性：随机变量在试验前只知道它可能的取值范围，而不能预先肯定它将取哪个 值，随机变量的取值一般不止一个。 （3）概率性：因试验结果的出现具有一定概率，故随机变量取每个值或每个范围内的值也有一定概率。 2.1 随机变量的概念 随机变量概念的产生是概率论发展史上重大的事件。引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩充到对随机变量及其取值规律的研究。 2.1 随机变量的概念 例题 例 2.1.1 将一枚硬币抛掷三次，观察正面 H、反面 T 的出现情况。试验的样本空间Ω={HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}，设每次试验出现正面 H 的总次数为随机变量 X，则 X 为定义在样本空间Ω上的函数，其取值与样本点之间的对应关系如下。 可知，取值为 2 的样本点构成的子集为A={HHT,HTH,THH}, 则有 类似地，有 例题 例 2.1.2 设袋中有 5 个球，有 3 个黑球（编号为 1、2、3），两个白球（编号为 4、5）。从中任取 3 个球，则“抽到的白球数”是一个随机变量，记为 X。显然ΩX={0,1,2}，X的取值与样本点之间的对应关系如下。 可知，若事件， ，显然 A 不一定是基本事件，以下是一些随机事件的举例。 （1）{ X<2} ={抽到的白球数小于2}； （2）{X≥1}={抽到的白球数不小于1} ； （3）{X=0}∪{X=2}={抽到的白球数为偶数}。 同时，还可得到P{抽到的白球数小于2} = P{X < 2} =0.7，P{抽到的白球数为2}=P{X=2}=0.3。 从例题中可以看出：引入随机变量后，随机事件可用关于随机变量的等式或不等式表示。 随机变量 所有取值可 以逐个列举 全部可能取值不仅有无 穷多，而且不能一一 列举，充满某些区间。 2.1 随机变量的概念 随机变量的分类 例如：“取到次品的个数”，“收到的呼叫数”等 例如：“电视机的使用寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等。 对于在 2.1 节中提到的某些随机变量，如案例 2.1.1 中的行政服务中心综合评价得分、抛掷硬币出现的正面数、抽到的白球数、某市 120 急救电话每小时收到的呼