10.1 相关与回归分析概述（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版）

“悟道诗---严加安” 随机非随意，概率破玄机； 无序隐有序，统计解迷离． 1 第十章 回归分析 第一节 相关与回归分析概述 二、相关关系的度量与可视化 四、小结 一、相关关系 三、什么是回归分析 一、相关关系 函数关系： 人的身高和体重 父亲的身高和成年儿子的身高 粮食的施肥量和产量 商品的广告费和销售额 相关关系： 例如 例如 二、相关关系的度量与可视化 1. 相关系数 随机变量 X 和 Y 的相关系数定义如下： 其中 是 X 和 Y 的协方差， 分别为 X 和 Y 的方差. 二、相关关系的度量与可视化 1. 相关系数 在实际问题中，基于X 和 Y 的 n 对观测数据 可以利用下式计算 X 和 Y的相关系数： 称 r 为变量 X 和 Y 的样本相关系数. 二、相关关系的度量与可视化 1. 相关系数 样本相关系数 r 度量了变量 X 和 Y 的线性相关性的强弱，满足 . 对于固定的样本容量n 1） ; 2） 越接近于1时， X 和 Y 的线性相关性越强; 3） 越接近于0时， X 和 Y 的线性相关性越弱. 二、相关关系的度量与可视化 1. 相关系数 二、相关关系的度量与可视化 2. 散点图 二、相关关系的度量与可视化 3. 相关系数矩阵图 设有 m 个变量 ，对它们进行 n 次独立的观测，观测数据矩阵记为 定义 的相关系数矩阵如下： 3. 相关系数矩阵图 其中 这里 为变量 和 的相关系数，满足 . 例10.1.1 在有氧锻炼中，人的耗氧能力 Y 是衡量身体状况的重要指标，它可能与以下因素有关：年龄 X1 (岁)，体重X2 (kg)，1500米跑所用的时间X3(min),静止时心速 X4 (次/min)，跑步后心速X5 (次/min).对24名40至57岁的志愿者进行了测试，结果如下表所列．试根据这些数据分析耗氧能力 Y 与诸因素之间的相关性． 例10.1.1 数据表： 序号 y x1 x2 x3 x4 x5 1 44.6 44 89.5 6.82 62 178 2 45.3 40 75.1 6.04 62 185 3 54.3 44 85.8 5.19 45 156 4 59.6 42 68.2 4.9 40 166 5 49.9 38 89 5.53 55 178 … … … … … … … 23 45.4 52 76.3 5.78 48 164 24 54.7 50 70.9 5.35 48 146 解 经计算得 的相关系数矩阵如下： 为了直观，绘制相关系数矩阵图，图中用椭圆色块直观地表示变量间的线性相关程度的大小. 相关系数矩阵图 第i 行，第 j 列的椭圆色块用来表示第i 个变量和第 j 个变量的相关性，其短半轴和长半轴满足 注：椭圆越扁，变量间相关系数的绝对值越接近于1，椭圆越圆，变量间相关系数的绝对值越接近于0．若椭圆的长轴方向是从左下到右上，则变量间为正相关，反之为负相关． 三、什么是回归分析 回归分析是对变量的相关关系进行建模的数学工具. 回归分析的内容包括： 1）从一组样本数据出发，确定因变量和自变量之间的数学关系式，即经验回归方程； 2）对经验回归方程进行显著性检验； 3）对回归方程中的各项进行检验，判断哪些项对因变量的影响是显著的，哪些是不显著的，通常需要剔除不显著的项，重新计算，对模型做出改进； 4）利用所求得的经验回归方程进行预测和控制． 小结 1. 主要概念：相关关系，相关系数，样本相关系数，相关系数矩阵. 2. 基于样本数据计算样本相关系数和相关系数矩阵. 3. 散点图和相关系数矩阵图. $$