ch3 多维随机变量及其分布（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（电工版·2023）

第三章 随机向量 有些随机现象只用一个随机变量来描述是不够的，需要用几个随机变量来同时描述。 3. 导弹在空中位置——坐标 (X, Y, Z)。 1. 某人体检数据——血压X和心律Y； 例如： 2. 钢的基本指标——含碳量 X，含硫量 Y和 硬度 Z ； 一般地, 将随机试验涉及到的 n 个随机量 X1, X2 , …, Xn 放在一起，记成 (X1, X2 , …, Xn )，称 n 维随机向量 (或变量)。 由于从二维随机向量推广到多维随机向量并无实质性困难，所以，我们着重讨论二维随机向量。 一维随机变量X——R1上的随机点坐标 二维随机变量(X,Y)——R2上的随机点坐标 n维随机变量(X1,X2,…,Xn)———Rn上的随机点坐标 多维随机变量的研究方法也与一维类似， 用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律 第三章 多维随机变量及其分布 3.1 随机向量的分布 3.2 条件分布与随机变量的独立性 3.3 二维随机变量函数的分布 案例 3.1.1 为了研究同学们平时成绩与期末成绩之间的联系，我们收集了某商学院工商管理专业 76 位同学某学期的“概率论与数理统计”课程的平时成绩与期末成绩，试分别求两个成绩都不合格的概率、两个成绩都不超过 80 分的概率、两个成绩都高于 90 分的概率、平时成绩不合格的概率、这两个成绩有无关系等。 分析：平时成绩与期末成绩的分布散点图如图所示。 案例 案例 3.1.1 为了研究同学们平时成绩与期末成绩之间的联系，我们收集了某商学院工商管理专业 76 位同学某学期的“概率论与数理统计”课程的平时成绩与期末成绩，试分别求两个成绩都不合格的概率、两个成绩都不超过 80 分的概率、两个成绩都高于 90 分的概率、平时成绩不合格的概率、这两个成绩有无关系等。 分析：平时成绩与期末成绩的分布散点图如图所示。 可以把每位同学的这两个成绩看作样本点，其对应的样本空间为Ω={(x,y)|平时成绩为x,期末成绩为y}.任取一位同学的平时成绩记为X，期末成绩记为Y，这时样本空间中的任意一样本点对应一对X与Y，其中X与Y是两个随机变量。因此要解决本案例问题，首先要引入多维随机变量及其分布的概念。 案例 定义 3.1.1 设X=（X1,X2, … ,Xn） ，若每个Xi都是一个随机变量，i=1,2,…,n，则称X为n维随机变量或者随机向量。 为 n 维随机变量的联合分布函数，简称分布函数。 3.1.1 多维随机变量及其分布函数 定义 3.1.2 设X=（X1,X2, … ,Xn）为n维随机变量，对于任意实数x1,x2, … ,xn, 称n元函数 本章主要研究二维随机变量，它的很多结论都可以推广到 n>2 的情形。 定义 3.1.3 设(X,Y)为二维随机变量，对于任意实数x和y，称二元函数 为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，简称分布函数。 引入二维随机变量后，两个成绩都不及格的概率可以表示为P(X ≤59,Y≤59)即随机点落在点(59,59)的左下方矩形区域内的概率（见图3.1.2）。 如果能确定分布函数，那么该概率就是分布函数在点(59,59)处的函数值，即类似地，两个成绩都不超过 80 分的概率为 案例3.1.1 解 若将二维随机变量(X,Y)视作二维平面坐标系随机点的坐标，则分布函数 F(x,y)的函数值就是随机点(X,Y)落在如图 3.1.3 所示的以点(x,y)为顶点、位于该点左下方的无穷矩形内的概率。 3.1.1 多维随机变量及其分布函数 图 3.1.4 中随机点(X,Y)落在区域 D 内的概率为 3.1.1 多维随机变量及其分布函数 由分布函数的定义及概率的性质，可以证明联合分布函数具有以下性质： 3.1.1 多维随机变量及其分布函数 符合以上4 条性质的二元函数均可以作为某个二维随机变量的分布函数。 例 3.1.1 设二元函数 容易验证 F(x,y)满足性质（1）～（3），但不满足性质（4）。事实上， 上述例子表明性质（4）不能由性质（1）～（3）导出，这正是二维随机变量分布函数的特有性质，一个二元函数倘若不具备性质（4），当然不能作为某个二维随机变量的分布函数。 例题 定义 3.1.4 若二维随机变量(X,Y)只取有限个或可列可数无限个值，则称(X,Y)为二维离散型随机变量。 3.1.2 二维离散型随机变量及其分布律 定义 3.1.5 设(X,Y)为二维离散型随机变量，其所有可能取值为(xi,yj)(i=1,2,…;j=1,2,…)，则称 为(X,Y)的联合分布律，简称为(X,Y)的分布律。 有时将联合分布律用表格形式表示，称为联合概率