ch4 随机变量的数字特征（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（电工版·2023）

第四章 数字特征 4.1 数学期望 4.2 方差 4.3 协方差、相关系数及矩 前面讨论了随机变量及其分布。 如果我们知道了随机变量 X 的概率分布，那么，关于 X 的全部概率特征也就知道了。 然而，在实际问题中，概率分布是较难确定的。且有时在实际应用中，我们并不需要知道随机变量的所有性质，只要知道其一些数字特征就够了。 因此，在对随机变量的研究中，确定随机变量的某些数字特征是非常重要的。 最常用的数字特征是：期望和方差。 第四章 数字特征 4.1.1 数学期望的概念 4.1 数学期望 案例4.1.1 某地区步手枪射击队需要从甲、乙两名射击选手中选拔一名选手参赛。队里决定对两名选手进行 100 次射击测试，并记录他们在 100 次射击中的命中环数与次数，如下所示： 如何根据测试的数据对甲、乙两名选手的技术进行评价呢？ 分析：很难直接从命中环数与次数对选手的技术进行评价，根据这些测试数据计算的平均命中环数显然可以作为其中一个评判标准，这种评判标准也比较公平合理。 4.1.1 数学期望的概念 4.1 数学期望 案例4.1.1 解：甲平均命中的环数为 乙平均命中的环数为 因此从平均命中的环数来看，甲的射击技术水平高于乙。 定义4.1.1 设X是离散型随机变量, 概率分布为 P{X=ai}=pi , i=1,2, …。 也就是说：离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数和。 如果 收敛, 即 绝对收敛，则称 为X 的数学期望(或均值)。 4.1 数学期望 例4.1.1 某种产品表面疵点数服从参数为 λ＝0.8 的泊松分布，规定疵点数不超过 1 个为一等品，价值为 10 元；疵点数大于 1 个、不多于 4 个为二等品，价值为 8 元；疵点数超过 4个为废品。求：（1）每件产品的废品率；（2）每件产品的平均价值。 解：（1）设 X 为某种产品表面疵点数，则 X~P(0.8)，因为 P(X>4)=1-P(X≤4)= 所以每件产品的废品率为 0.0014。 4.1 例题 例4.1.1 某种产品表面疵点数服从参数为 λ＝0.8 的泊松分布，规定疵点数不超过 1 个为一等品，价值为 10 元；疵点数大于 1 个、不多于 4 个为二等品，价值为 8 元；疵点数超过 4个为废品。求：（1）每件产品的废品率；（2）每件产品的平均价值。 解：（2）设 Y 代表每件产品的价值，那么 Y 的分布律如下： 4.1 例题 显然E(Y) = 10 × 0.8088 + 8 × 0.1898 + 0 × 0.0014 ≈ 9.61(元) 4.1.2 连续型随机变量的数学期望 设X是连续型随机变量，密度函数 f(x) 在数轴上取很密的点 x0< x1< x2<…, 则X 落在小区间 [xi , xi+1) 的概率是 在小区间[xi, xi+1)上 阴影面积≈ 小区间[Xi, Xi+1) 由于xi与xi+1很接近, 所以区间[xi, xi+1)中的值可用 xi 来近似地替代。 这正是 的渐近和式。 阴影面积≈ 因此, X与以概率 取值 xi 的离散型r.v近似, 该离散型r.v 的数学期望是 定义4.1.2 设X是连续型随机变量，概率密度为f (x), 如果 绝对收敛，则称 为X的数学期望。 也就是说：连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分值。 4.1.2 连续型随机变量的数学期望 例 4.1.2 已知随机变量 X 的分布函数为 求 E(X) 。 解：随机变量 X 的分布密度为 故 1. 两点分布：X ∼ B(1, p), E(X)=p. 常用随机变量的数学期望 2. 二项分布：X ∼ B(n, p)， 3. 泊松分布: X ∼ P() ，则 E(X)=  . 4. 均匀分布 若X ~ U[a, b], 即X服从[a, b]上的均匀分布, 则 5. 指数分布 若X 服从参数为 λ 的指数分布，则 6. 标准正态分布 若X 服从 ，则 4.1.2 随机变量函数的数学期望 I. 问题的提出： 设随机变量X的分布已知，需要计算的量并非X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说是 g(X) 的期望。那么，如何计算呢？ 一种方法是：由于g(X) 也是随机变量，故应有概率分布，其分布可以由X的分布求出。一旦知道了g(X) 的分布, 就可以按照期望的定义把