7.3 正态总体区间估计（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版）

“悟道诗---严加安” 随机非随意，概率破玄机； 无序隐有序，统计解迷离． 1 第七章 参数估计 第三节 正态总体的区间估计 二、单个正态总体参数的区间估计 四、小结 一、置信区间的概念 三、两个正态总体参数的区间估计 定义1：设总体 的分布函数 一、置信区间的概念 中含有一个未知 参数 所有可能取值的范围）， 由总体 的样本 确定的两个统计量 其中 若对于给定的 ，使得 则称随机区间 是 的置信水平为 的 4 置信区间，称 为置信水平， 分别称为 的双侧置信上限和双侧置信下限. 注：（1）置信区间 的长度反映了估计的精度； （2） 反映估计的可靠性，值越大，估计的 （3）置信水平 可靠性越高. 而精度和可靠性是矛盾的. 的含义：在随机抽样中， 如果进行N次抽样，则随机得到N个区间，这N个区 间中有的包含未知参数 的真值，有的不包含. 二、单个正态总体参数的区间估计 设总体 是总体 的样本， 分别是样本均值和样本方差，置信水平为 1. 正态总体均值 的区间估计 （1） 已知时， 的置信区间 利用样本函数 根据标准正态分布的上 分位点定义，有 即 得到 的一个置信水平为 的置信区间 或 例1 从某厂生产的滚珠中随机抽取10个，测得滚珠的直径（单位：mm）如下：14.6 15.0 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.8 若滚珠直径服从正态分布，并且已知 求滚珠直径均值 的置信水平为95%的置信区间. 解 计算样本均值 ，置信水平 查表得 ，由此得 的置信水平为95% 的置信区间为 即 注：未知参数的置信水平为 的置信区间并不 是唯一的.置信区间的长度随置信水平变化. (2) 未知时， 的置信区间 当 未知时， 选取样本函数 由于 t 分布的分布曲线对称于 y 轴，故给定的置信水平 ，选取对称区间 . 使得 即 则 于是置信区间为 例2 从某厂生产的滚珠中随机抽取10个，测得滚珠直径（单位mm）为：14.6 15.0 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.8. 若滚珠直径服从正态分布 ， 求滚珠直径均值 的置信水平为95%的置信区间. 解：样本均值 ， 样本标准差 ， 置信水平 ， ，自由度 ， 查表得 ，则 的置信区间为 即 注：比较两例， 未知时 的置信区间要比 已知 时的置信区间长度大一些，这表明当未知条件增多，估计精度变差. 2.正态总体方差 的区间估计 （1） 已知时， 的置信区间 构造样本函数 注： 分布的分布曲线不对称，找到最短置信区间 是困难的，所以仿照曲线对称情形选取区间. 故 有 即 即 得到置信区间为 14 例3 从某厂生产的滚珠中随机抽取10个，测得滚珠直 径（单位mm）如下：14.6 15.0 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.8. 若滚珠直径服从正态分布，已知 求滚珠直径方差 的置信水平为95%的置信区间. 解：已知 则方差 的置信水平为95%的置信区间为 15 即 所以置信水平为95%的置信区间为 (2) 未知时， 的置信区间 选取样本函数 选取分位点 可得 即 置信区间为 例4 从某厂生产的滚珠中随机抽取10个，测得滚珠直径（单位：mm）如下：14.6 15.0 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.8 若滚珠直径服从正态分布，若 未知，求滚珠直径方差 的置信水平为95%的置信区间. 解：样本方差 置信水平 自由度 查表得 置信区间为 即 三、两个正态总体参数的区间估计 在实际问题中，有时需要研究两个正态总体均值或方差之间的差异问题，要讨论两个正态总体的均值差和方差比的区间估计问题. 设总体 是总体 , 的样本，样本均值和 样本方差. , 是总体 的样本，样本 均值和样本方差 1. 两个正态总体均值差 的区间估计 （1） 已知时， 的置信区间 有 有样本函数 对于给定的置信水平 ，有 即 则有 因此均值差的置信区间为 例5 比较甲，乙两种钢板的强度，从甲钢板中抽取20个样品，测得强度均值为 从乙钢 板中抽取25个样品，测得强度均值为 设两种钢板强度服从正态分布，其方差分别为 试计算两种钢板强度均值差的置信水平90% 的置信区间. 解： 置信水平 查表得 数据代入得到 置信区间为 （2） 均未知，但 时， 的置信区间 选取样本函数 24 其中