7.2 估计量的评价标准（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版）

“悟道诗---严加安” 随机非随意，概率破玄机； 无序隐有序，统计解迷离． 1 第七章 参数估计 第二节 估计量的评价标准 二、有效性 一、无偏性 三、一致性（相合性） 四、小结 在上一节中可知，对于同一个参数，用不同的点估计方法得出的估计量可能不同，即使利用同一种方法，也可能得到多个估计量．这就涉及到评价估计量好坏的标准问题. 本节我们讨论评价估计量常用的三条标准： （1）无偏性；（2）有效性；（3）一致性（相合性）． 设 是从总体 中抽取的样本， 是总体分布中未知参数 的估计量，如果 存在，且 则称 是 的无偏估计量． 定义： 一、无偏性 无偏性的意义 对于某些样本值，用估计量 得到的估计值相对于真值 来说有的偏大，有的偏小，但是平均来说它等于未知参数 ． 即不存在系统误差． 注意： （3）无偏性是对估计量一个常见而重要的要求，它 的实际意义指估计量没有系统偏差，只是随机 偏差. （1）如果 ，则称 为 的有偏估计量， 称 为估计量 的偏差； （2）如果 是 的有偏估计量，但 ， 则称 是 的渐近无偏估计量； 定理： 设 是取自总体 的样本，总体 的均值为 ，方差为 ．则 （1）样本均值 是总体均值 的无偏估计量； （2）样本方差 是总体方 差 的无偏估计量； 证明 因为样本 相互独立且与总体 服从相同的分布，故有 由数学期望和方差的性质可知： （3）样本二阶中心矩 不是总 体 的无偏估计量，而是渐近无偏估计量． （1） （2）由于 故样本均值 是总体均值 的无偏估计量． 则 再由公式 ，可得 因此 即样本方差 是总体方差 的无偏估计量． （3）由于 又因为 所以 不是 的无偏估计量． 所以 是 的渐近无偏估计量． 二、有效性 对于同一个未知参数 ，它可能有多个无偏估计量，在这些估计量中自然选用对 的平均偏离程度较小者为好，也就是说一个较好的估计量应有较小的方差．由此我们引入评价估计量好坏的第二个标准：有效性． 设 和 都是参数 的无偏估计量，且 ，则称 较 的有效． 定义： 当样本容量 一定时，若在 的所有无偏估计量中， 的方差 最小，则称 是 的有效估计量． 设 是总体 的样本，证明 都是总体均值 的无偏估计量，并比较哪个估计量更有效． 例1： 由于 解： 又因为 所以 ，都是总体均值 的无偏估计量． 又因为 ，所以 较 更有效． 三、一致性（相合性） 在样本容量 一定的情况下，无偏性和有效性能够较好地反映估计量的好坏．但是随着样本所包含信息的增多，当 充分大时，我们希望估计值在某种意义下稳定在真值附近．这就是第三个评价标准：一致性（相合性）． 设 是总体参数 的估计量，如果对于任意 ，当 时， 依概率收敛于 ，即对于任意