7.1 点估计（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版）

“悟道诗---严加安” 随机非随意，概率破玄机； 无序隐有序，统计解迷离． 1 第七章 参数估计 数理统计所研究的基本问题 根据手中的数据，分析或推断数据反映的本质规律 统计推断 根据样本对总体的分布或数字特征等作出合理的推断 核心问题 参数估计 假设检验 参数估计 统计推断的一种基本形式 数理统计学的一个重要分支 参数估计的两种形式 点估计 区间估计 第一节 点估计 二、最大似然估计法 一、矩估计法 三、小结 如果总体 的分布类型是已知的，但它的一个或多个参数是未知的，则需要对未知的参数作出估计，这就属于参数估计的点估计问题． 设 是总体 的分布函数，其中 是未知参数， 为总体的一个样本 设总体 的分布中含有未知参数 ，从总体 中抽取样本 ，构造某个统计量 作为参数 的估计，则称 为参数 的点估计量；若样本 的观测值为 ，则称 为参数 的点估计值. 定义： 由于估计量是样本的函数, 是随机变量, 故对不同的样本值, 得到的参数值往往不同, 如何求估计量是关键问题. 估计量的求法 常用构造估计量的方法: (两种) 矩估计法和最大似然估计法. （1）矩估计基本思想 一、矩估计法 用样本矩作为相应总体矩的估计，即用样本矩去替换相应的总体矩. 矩可以是原点矩，也可以是中心距. 英国统计学家卡尔·皮尔逊（Karl Pearson）在1900年提出. （2）矩估计的理论基础 设总体 的 阶原点矩 存在，则由大数定律可知，当 时，样本的 阶原点矩 依概率收敛于 . （3）矩估计的具体做法 设总体 的分布中含有 个未知参数， ， 为总体的一个样本，假设总体 的 阶原点矩都存在，则有 用样本的 阶原点矩 作为总体 的 阶原点矩 的估计量，由此得到含有 的方程组： 求解方程组，得 这就是未知参数 的矩估计量． 这就是未知参数 的矩估计值． 代入样本观测值得到 个数，即 例1： 设总体 ，其中 为未知参数， 是来自总体 的一个样本，求参数 的矩估计量． 由于 解： 所以参数 的矩估计量为 令 即 设总体 服从区间 上的均匀分布，其中 是未知参数，若取得样本观测值 ，试计算参数 的矩估计值． 例2： 解： 由于总体 服从区间 上的均匀分布，故其概率密度函数为 故有 而样本的一阶原点矩为 由于只有一个未知参数 ，所以只需计算总体 的一阶原点矩 所以 的矩估计量为 进而得到 的矩估计值 例3： 解： 由于总体 的分布中有两个未知参数，故应考虑一、二阶原点矩，从而有 设总体 的均值 及方差 都存在，且有 ，但 均未知，又设 是来自总体 的样本，试求 的矩估计值． 于是，由矩估计的方法得方程组 解得 及 的矩估计量分别为 进一步得到 及 的矩估计值为 以上结果表明：无论总体 服从何种分布，只要总体的均值和方差存在，总体均值的矩估计量就是样本均值，总体方差的矩估计量就是样本二阶中心矩，即 其矩估计值为 用仪器测量某零件的长度 （单位：mm），设测得的零件长度服从正态分布 ，现进行5次测量，其结果如下： 92 94 103 10