6.1 总体和样本（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版）

“悟道诗---严加安” 随机非随意，概率破玄机； 无序隐有序，统计解迷离． 1 第六章 数理统计基本概念与抽样分布 第一节 总体与样本 二、抽样与样本 一、总体与个体 三、统计量 四、小结 一、总体与个体 定义1： 通常称研究对象的全体为总体，称组成总 体的每个元素为个体，总体中包含个体的个数称为 总体容量. 根据总体容量的多少可分为有限总体和无限总体． 例如，要研究某地区2021年新出生婴儿身高情况，可认为该地区所有2021年新出生婴儿的身高为总体，每个新出生婴儿的身高为个体． 总体具体表现为就是一些取值（数），如身高、射程、深度等．因此可以用某一随机变量X的取值去描述总体的取值，或者说将总体对应于某一随机变量X，把对总体的研究变成对某一随机变量X的研究，总体的分布对应于某一随机变量X的分布．由于每一个个体在被观测之前，取值不确定，且都在总体的取值范围内取值，所以也可将个体看作某一个随机变量（记作 X i），其与总体具有相同的分布. 二、抽样与样本 定义：从总体抽取个体的过程称为抽样，抽取出的 个体称为样本，样本中含有个体的数量称为样本容量． 简单随机抽样： （1）独立性：需要保证每个个体被抽到与否，不受其他个体的被抽取情况影响； （2）随机性：需要保证每个个体都有相同被抽到的可能性，以使抽样具有代表性． 采用简单随机抽样抽出的样本，称为简单随机样本． 总体用 表示，简单随机样本可记作 ，则有 （1） 之间相互独立； （2）每个个体 与总体 有相同的分布． 注6.1.1 如果对总体进行放回随机抽样，得到的样本一定是简单随机样本．如果对总体进行不放回随机抽样，则无法完全保证相互之间独立性．但当样本容量远小于总体容量时，可将此种情况的抽样近似看作是简单随机抽样． 注6.1.2 对于简单随机样本 ，可得 （1）若总体 的期望、方差都存在，则 ， ， ； （2）若总体 的分布函数为 ，则 的联合分布函数为 （3）若总体 为离散随机变量，且其概率函数为 ，则 的联合概率函数为 （4）若总体 为连续随机变量，且其概率密度函数为 ，则 的联合概率密度函数为 定义 6.1.1 设 是来自总体 的一个样本， 是样本的函数，记为 ，若 中不含有未知的参数，则称 为统计量．统计量的分布称为抽样分布． 三、统计量 注 （1）统计量是的样本函数，但样本的函数不一定是统计量； （2）统计量 是一个随机变量，当样本 的观测值为 时，称 为该统计量的观测值． 例如，对于正态总体 ，其中 为已知， 为未知．取总体一组样本 ，则 ， 都是统计量，而 ， 就不是统计量． 样本均值： 样本方差： 样本标准差： 样本k阶原点矩： 样本k阶中心矩： 定义6.1.2 设 是来自总体 的一个样本，则常用的统计量有 注6.1.4 除样本均值与样本方差（标准差）是最常用到的统计量之外，样本的三、四阶矩也有一些应用，四阶以上的则很少用到： 样本偏度（skewness）： 样本峰度（kurtosis）： 在有些实际问题中，需要考虑样本的极大和极小相关的情况，比如质量管理、可靠性等方面，为此引入顺序统计量，中位数，分位数的概念．这个三个概念的定义详见教材。 例6.1.1 记总体 的一组样本为随机变量 ，具体到一次抽样可得一组样本观测值，设经过三次抽样得到三组样本观测值： 样本 组1 2.5 2.1 1.7 2.0 1.8 组2 2.1 2.2 1.9 1.7 2.3 组3 1.6 2.4 1.8 2.0 2.1 此时，将每一组样本观测值由小到大依次排列，看成新的随机变量的观测值，即顺序统计量 的观测值： 样本 组1 1.7 1.8 2.0 2.1 2.5 组2 1.7 1.9 2.1 2.2 2.3 组3 1.6 1.8 2.0 2.1 2.4 小结 1. 主要概