ch6 数理统计的基础知识（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（电工版·2023）

第六章 数理统计的基础知识 引言 由于大量随机现象必然呈现出其规律性，因而从理论上讲，只要对随机现象进行足够多次的观察，随机现象的规律性就一定能够清楚地呈现出来。 但是，客观上只允许我们对随机现象进行次数不多的观察或试验，也就是说：我们获得的只能是局部的或有限的观察资料。 数理统计的任务就是研究怎样有效地收集、整理和分析所获得的有限资料，并对所研究的问题尽可能地给出精确而可靠的推断。 现实世界中存在着形形色色的数据，分析这些数据需要多种多样的方法。 因此，数理统计中的方法和支持这些方法的相应理论是相当丰富的。概括起来可以归纳成两大类。 参数估计: 根据数据，对分布中的未知参数 进行估计； 假设检验: 根据数据，对分布的未知参数的 某种假设进行检验。 参数估计与假设检验构成了统计推断的两种基本形式，这两种推断渗透到了数理统计的每个分支。 案例 6.1.1 随着技术的快速更新及社会的迅猛发展，职业选择受到了从业者的高度关注。比如职业发展研究人员做特定职业满意度调查时，将满意度分为四类：“特别不满”“不 满意”“基本满意”“满意”，同时给出量化评级体系，这四类满意度对应的得分为 0、1、3、5。全国范围内，某一职业的从业者可能有数十万、数百万，甚至数千万，所以只能采用抽样调查的方法，如随机抽查全国 100 个某职业的从业者，职业满意度的得分数据如下： 试问能由这 100 个数据得到该职业满意度得分的概率分布吗？采用什么方法？理论依据是什么？ 案例 6.1.2 某高校教务处希望了解近年来各学院的学风情况，其中公共基础课的成绩是非常重要的参照指标，以高等数学成绩为例，需要了解：（1）各学院学生的平均成绩情况如何？（2）各学院学生的成绩差异是否很大？（3）各学院学生的成绩服从什么分布？（4）各学院学生的成绩是否服从正态分布？（5）某两个学院学生成绩的差异大吗？由于学生人数较多，采用随机抽样完成。下表是随机抽查的两个学院的 60 位学生和 55 位学生的成绩数据，根据这些数据能否回答上述问题？能做出什么推断，采用什么方法推断？其理论依据又是什么？ 6.1 数理统计的基本概念 在数理统计中，称研究问题所涉及对象的全体为总体，把组成总体的每个成员称为个体。 例如: 研究某工厂生产的某种产品的废品率，则这种产品的全体就是总体，而每件产品都是一个个体。 6.1.1 总体与个体 实际上，我们真正关心的并不一定是总体或个体本身，而真正关心的是总体或个体的某项数量指标X，在试验中，数量指标 X 就是一个随机变量（或随机向量），X的概率分布完整地描述了这一数量指标在总体中的分布情况。 如：某电子产品的使用寿命，某天的最高气温，加工出来的某零件的长度等数量指标。由于我们只关心总体的数量指标X，因此总体等同于X的所有可能取值的集合，并把X的分布称为总体分布，常把总体与总体分布视为同义词。 6.1 数理统计的基本概念 定义6.1.1 统计学中称随机变量（或向量）X 为总体，并把随机变量（或向量）的分布称为总体分布。 6.1.1 总体与个体 从统计学的角度理解，案例 6.1.1 中的总体是 0、1、3、5 这些满意度得分的全体，而每个得分就是个体。 正如上述两案例所示，数理统计常通过抽样调查研究问题，因为研究对象的总体容量往往非常大，所以只能抽查部分个体完成研究。 6.1 数理统计的基本概念 正如上述两案例所示，数理统计常通过抽样调查研究问题，因为研究对象的总体容量往往非常大，所以只能抽查部分个体完成研究。在案例 6.1.1 中，如果将满意度得分记为X，那么X的所有可能取值为 0、1、3、5，同时X的每个值都包含了很多个体，并且可以得到确切数量（只要做一次全体调查），而我们所关注的仅是X的取值及其概率分布，表中100 个数据就是为了研究该问题随机抽取的部分个体的取值，称其为一个样本，我们希望利用数理统计的方法根据这个样本推断出整个行业中该职业满意度得分的分布，即由个体推断总体。为此，我们首先引入一些相关的概念。 6.1.2 样本与统计量 一般地，将为研究总体的特征而从总体中抽取的部分个体称为样本。 若从某个总体X中抽取了n个个体，记为(X1,X2,…,Xn)，则称其为总体X的一个容量为n的样本。依次对它们进行观察得到 n个数据(x1,x2,…,xn)，则称这n个数据（n维实向量）为总体 X的一个容量为n的样本观测值，简称样本值，可以视作n维随机向量(X1,X2,…,Xn)的一组可能的取值，样本(X1,X2,…,Xn)的所有可能取值的集合称为样本空间，记为χ