4.3.2 等比数列的性质 课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.2 等比数列的性质 1915年，波兰数学家谢尔宾斯基创造了一个美妙的“艺术品”，被人们称为谢尔宾斯基三角形，如图所示．如果我们观察图中那些白色三角形的个数，并把它们按面积大小从小到大依次排列起来，可以得到一列数： , , , , , .可以知道，这些数构成等比数列. 思考：观察项的角标满足什么关系？由此你能得到什么结论吗？ 【探究】 , , , , , , …这些数构成等比数列.说出27是哪两项的等比中项？并找到它们满足的规律. 可以得到：272=9×81=3×243=1×729 ∴可得到 等比数列的性质 证明:等比数列中，已知，则 证明：∵设等比数列的首项为，公比为，则 ， 而，∴. ， 等比数列的性质——下标和性质 即：下标和相等，对应项的积相等 等比数列的性质——下标和性质 与首末两项“等距离”的 两项之积等于首末两项的积 解：(法1)由已知：a1q·a1q3＋2a1q2·a1q4＋a1q3·a1q5＝36 即a12q4＋2a12q6＋a12q8＝36， ∴a12q4(1＋2q2＋q4)＝36，即a12q4(1＋q2)2＝36， ∴a1q2(1＋q2)＝6，∴a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(1＋q2)＝6. 巩固：下标和性质 巩固：下标和性质 等比数列的性质：衍生新数列 p q p 1/p p2 pq p/q |p| 性质3.等比数列{an}中，下标成等差数列的项仍成等比数列 等比数列的性质 【例3】(P34-1)求满足下列条件的数： (1)在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列； (2)在160与﹣5中间插入4个数，使这6个数成等比数列. 巩固:等比数列的性质 等比数列的实际运用 【例4】(P31-例4)用10000元购买某个理财产品一年. (1)若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？ (2)若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到10-5）？ 等比数列的实际运用 【例5】(P33-例6)某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品．1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？ 等比数列的实际运用 1月 2月 3月 0.9 1050 产量 合格率 1050·1.05 1050·1.052 4月 1050·1.053 0.9+0.4% 0.9+0.4%×2 0.9+0.4%×3 n月 0.9+0.4%(n－1) 1050·1.05n－1 an bn anbn 【例5】(P33-例6)某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品．1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？ 【例5】(P33-例6)某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品．1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？ 等比数列的实际运用 解：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列{an}，{bn}. 由题意知，an=1050×1.05n－1，其中n=1,2,…,24， bn=1－[90%＋0.4%(n－1)]=0.104－0.004n，其中n=1,2,…,24， 则从今年1月起，各月不合格产品的数量是anbn=1050×1.05n－1×(0.104－0.004n)=1.05n×(104－4n), 由计算工具（精确到0.1），并列表， n 1 2 3 4 5 6 7 anbn 105.0 105.8 106.5 107.0 107.2 107.2 106.9 n 8 9 10 11 12 13 14 anbn 106.4 105.5 104.2 102.6 100.6 98.1 95.0 可发现{an}先递增，在第6项后递减，且a13b13<100 等比数列的实际运用 解：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列{an}，{bn}. 由题意知，an=1050×1.05n－1，其中n=1,2,…,24， b