4.2.2 等差数列的前n项和公式 课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.1.2 等差数列的前n项和 第一课时 学习目标： 1.利用高斯算法类比出倒序相加法，进而得到一般等差数列的前n项和公式，培养数学抽象、逻辑推理、数学运算的素养。 2.掌握等差数列的前n项和公式，并能应用公式解决简单求值问题，体会方程思想，培养数学运算素养. 1. 等差数列的定义 2. 等差数列的通项公式 3. 等差中项 an-an-1=d （n≥2）或 an+1-an=d (n∈N*) an =a1+(n-1)d 由三个数a,A,b组成等差数列,则称A叫做a与b的等差中项. 这三个数满足关系式： A= d= 函数图象上所有的点在同一条直线上：d＞0,等差数列单调递增；d＜0,等差数列单调递减；d＝0,等差数列为常数列. 4. 等差数列的函数特征 复习回顾 据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 高斯（Gauss，1777－1855），德国数学家，近代数学的奠基者之一. 他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献. 配对 问题1： 高斯巧算破难题 不同数的求和 相同数的求和 转化 探究：等差数列前n项和的推导 探究：等差数列前n项和的推导 ②当n是奇数时，有 ∴对任意正整数n，都有 ①当n是偶数时，有 探究：等差数列前n项和的推导 = 1 + 2 + 3 + …+n 目的：配凑(n+1) n项 颠倒顺序 探究：等差数列前n项和的推导 倒序相加法 [思考5]上述方法的妙处在哪里？这种方法能够推广到求等差数列{an}的前n项和吗？ 倒序 n个相同的数(n+1) 目的：把不同的数求和转化为n个相同的数求和 探究：等差数列前n项和的推导 类似地，对于任意等差数列{an}，不妨用以下两种方式表示Sn： ①+②得: n项 由此，等差数列{an}的前项和公式为： 探究：等差数列前n项和的推导 等差数列前n项和公式 项数 首项 末项 知首项/末项 知首项/公差 首末项的平均数即 为前n项的平均数 【例1】(P21)已知数列是等差数列. （1）若； （2）若，求； （3）若，， 分析 （1）可以直接利用公式求和； （2）可以先利用的值求出，再利用公式求和； （3）已知公式中的，解方程即可求得. 巩固：等差数列前n项和公式 方程思想，知三求二 方法技巧：等差数列中的基本计算 (1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前项和公式中有五个量这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量的方程组，解出，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． (2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质： 若，则，常与求和公式结合使用． 巩固：等差数列前n项和公式 第二课时 学习目标： 1.利用高斯算法类比出倒序相加法，进而得到一般等差数列的前n项和公式，培养数学抽象、逻辑推理、数学运算的素养。 2.掌握等差数列的前n项和公式，并能应用公式解决简单求值问题，体会方程思想，培养数学运算素养. 等差数列前n项和公式 项数 首项 末项 知首项/末项 知首项/公差 首末项的平均数即 为前n项的平均数 练习：等差数列前n项和公式 一般地，对于等差数列，只要给定两个相互独立的条件，这个数列就完全确定． 练习：等差数列前n项和公式 练习：等差数列前n项和公式 等差数列前n项和公式 项数 首项 末项 知首项/末项 知首项/公差 首末项的平均数即 为前n项的平均数 补成平形四边形 分割成一个平行四边形和一个三角形 an=a1+(n-1)d (n-1)d 在两个求和公式中, 涉及到5个元素有：Sn,a1,an,n,d.只要知道其中三个元素, 结合通项公式就可求出另两个元素——“知三求二”. 等差数列前n项和公式 【例3】(P23)已知等差数列的项和，若，公差，是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值时的值；若不存在，请说明理由. 解： 由图象得，当取与接近的整数即5或6时 最大，最大值为30. 等差数列最值也可看图象 二次函数法 等差数列前n项和与函数的关系 等差数列前n项和Sn与函数的关系——最值问题 求Sn的最值： 结合二次函数的开口/对称轴分析 等差数列前n项和与函数的关系——最值问题 巩固：知Sn求an 【例4】设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝－2n2＋n＋2. (1)求{an}的通项公式； (2)判断{an}是否为等差数列？ 巩固：知Sn求an 【例4】设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝－2n2＋n＋2. (1)求{an}的通项公式； (2)判断{an}是否为等差数列？ 小结：等差数列的判