1 概率论的基本概念（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（电工版·2020）

概率论与数量统计 概率论的基本概念 第一章 01 随机事件 随机事件 01 随机试验和样本空间 为了研究随机现象的内在规律性，必须反复对随机现象进行观察、测量，一次观察、测量称为次试验。满足以下三个特点的试验称为随机试验(random trial)： （1）试验可以在相同的条件下重复进行； （2）在试验之前能明确知道所有的可能结果； （3）每次试验必出现全部可能结果中的一个且仅出现一个，但某次试验究竟出现哪个结果，在试验之前不能预知。 随机试验记为E，本书以后所提到的试验均指随机试验。 试验E的每个可能出现的结果称为一个样本点(sample point)，记为ω。试验E的所有可能结果的集合，即全体样本点组成的集合称为E的样本空间(sample space)，记为Ω。 随机事件 01 随机事件的定义 一般地，称试验E的样本空间的子集为E的随机事件(random event)，简称事件，用英文大写字母A，B，…表示。 在一次试验中，若试验结果ω∈A，则称在此次试验中，事件A发生；否则，若试验结果ω∉A，则称在此次试验中，事件A没有发生。 有三个特殊的事件： （1）基本事件：仅含有一个样本点的事件； （2）不可能事件：空集Ω，故是随机事件。任意一次试验结果，故在每次试验中，事件都不发生; （3）必然事件Ω：样本空间Ω⊂Ω，故Ω是随机事件。任意一次试验结果∈Ω，故在每次试验中，事件都发生。 必然事件和不可能事件是随机事件的两种极端情形，代表了随机现象和确定性现象之间的过渡。 随机事件 01 事件的关系与运算 1.事件的关系 （1）事件的包含关系 若A⊂B，则称事件B包含事件A，其含义是：在一次试验中，若事件A发生，则事件B一定发生，因为A发生，试验中出现的样本点ω∈A，而A⊂B，故ω∈B，从而B必定发生（见图1.1）。 事件的包含关系具有传递性：若A⊂B且B⊂C，则A⊂C。 为方便起见，规定A⊂Ω。 随机事件 01 事件的关系与运算 1.事件的关系 （2）事件的相等 若A⊂B且B⊂A，则称事件A与事件B相等，记为A=B，它表示事件A与事件B是司一事件。 （3）事件的互不相容(事件的互斥) 若在一次试验中，事件A与事件B不能同时发生，则称事件A与事件B互不相容（或互斥）（见图1.2）。 随机事件 01 事件的关系与运算 1.事件的关系 （4）事件的对立 “事件A不发生”称为事件A的对立事件，记为（见图1.3）。 随机事件 01 事件的关系与运算 2.事件的运算 （1）两个事件的交 “事件A与事件B同时发生”作为一个事件，称为事件A与事件B的交，记为A∩B（或AB）（见图1.4）。 显然，若事件A与事件B互不相容（或互斥），则AB=。 随机事件 01 事件的关系与运算 2.事件的运算 （2）事件的并 “事件A或事件B发生”（“事件A和事件B中至少有一个发生”）作为一个事件，称为事件A与事件B的并，记为AUB（见图1.5）。 特别地，当事件A与事件B互不相容，即AB=时，AUB也记为A+B，称为A与B的和。显然，A+=Ω。 随机事件 01 事件的关系与运算 2.事件的运算 （3）事件的差 “事件A发生而事件B不发生”作为一个事件，称为事件A与B的差，记为A-B（见图1.6)。显然有 A=Ω， （1.1） AB=AAB=AB=（AUB）B. （1.2） 随机事件 01 事件的关系与运算 2.事件的运算 （4）事件的交与并的推广 “事件A发生而事件B不发生”作为一个事件，称为事件A与B的差，记为A-B（见图1.6)。显然有 且 表示“,,...同时发展”这一事件， “,,...,,...同时发生”这一事件。 随机事件 01 事件的关系与运算 3.事件运算的法则 事件的运算满足以下运算律： （1）交换律：A∩B= B∩A，AUB= BUA； （1.3） （2）结合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C)，(AUB)UC=AU(BUC)； （1.4） （3）分配律：( A∩B)uC=(AUC)∩(BUC)，(AUB)C=(AC)U(BC)； （1.5） （2）对偶律（德·莫根律)：=，=U。 （1.6） 随机事件 01 事件的关系与运算 下面是几个常用的关系式: 3.事件运算的法则 02 概率的定义和性质 概率的定义和性质 02 随机事件的频率 定义1.1 A是随机试验E的随机事件，将E重复n次，在这n次试验中A发生的次数是，则称为在这n次试验中A发生的频率（frequency），记为，即 事件的频率有如下性质。 定理1.1 对任何事件4，有 （1）0≤≤1； （1.7） （2）=1； （1.8） （3）是k个两两互不相容的事件，则 这三条性质分别称为频率的非负性、规范性和有限可加性。 概率的定义和性质 02 概率