4.4 随机变量的矩（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版）
2024-02-25
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普通
内容正文：
“悟道诗---严加安”
随机非随意，概率破玄机；
无序隐有序，统计解迷离．
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第四章
随机变量的数字特征
第四节 随机变量的矩
设X与Y都是随机变量，若
定义1：
存在，则称其为X的k阶原点矩，记为
存在，则称其为X的k阶中心矩，记为
若
定义1：
存在，则称其为X与Y的k+l阶原点矩，记为
存在，则称其为X与Y的k+l阶中心矩，记为
若
若
“悟道诗---严加安”
随机非随意，概率破玄机；
无序隐有序，统计解迷离．
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第四章
随机变量的数字特征
综合例题
一民航送客车载有20位乘客自机场开出，旅客有10个车站可下车，如果达到一个车站没有乘客下车就不停车．以X表示停车的次数，求E(X)（设每位乘客在各车站下车是等可能的，并设乘客是否下车互相独立）．
例1：
解：
引入随机变量
易知， ．由题意可以求出 的分布
故
即平均停车次数约是8.784次．
10
设 为随机变量且 存在， 为常数，证明
例2：
证明：
故有结论成立．
因为
11
随机变量 与 独立， 的概率分布为
例3：
解：
又 故
因为
服从参数为
的泊松分布．令 求
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设 求 使数学期望
例4：
解：
令
设
达到最小．
13
由实际问题知，该解即为所求．
解得方程唯一解：
14
设 求其三阶和四阶中心矩．
例5：
解：
三阶中心矩为
因为 所以概率密度为
15
设 求其三阶和四阶中心矩．
例5：
解：
四阶中心矩为
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设随机变量X服从某一分布且其各阶矩均存在，若记 则称其标准化变量的三阶矩为偏度系数（coefficient of skewness），即 ；称其标准化变量的四阶矩为峰度系数（coefficient of kurtosis），即
定义1：
有上述例题知，正态分布的偏度系数为0，而峰度系数为3．
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