4.3 协方差与相关系数（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版）

“悟道诗---严加安” 随机非随意，概率破玄机； 无序隐有序，统计解迷离． 1 第四章 随机变量的数字特征 第三节 协方差与相关系数 二、协方差与相关系数的性质 一、协方差与相关系数的概念 三、小结 一、协方差与相关系数的概念 设随机变量X与Y的函数[X-E(X)][Y-E(Y)]的数学期望存在，称 定义1： 为随机变量X与Y的协方差，记为 或 （1）若 是离散型随机变量，其概率函数为 则 的协方差为 （2）若 是连续型随机变量，其概率密度为 ，则 的协方差为 随机变量X与Y的协方差本质上是随机变量X与Y函数的数学期望. 5 设 均存在，则 定理1： （1）若 是离散型随机变量，其概率函数为 则 设 均存在，则 定理1： （2）若 是连续型随机变量，其概率密度为 ，则 设二维离散型随机变量的联合分布律如下： 例1： 解： 方法一：先求各自的分布及数学期望，再求出协方差．易知关于X, Y, XY的边缘分布分别为 -1 0 1 0 0.1 0.1 0.2 1 0.2 0.3 0.1 求 0 1 0.4 0.6 8 例1： 解： 方法一： -1 0 1 0.3 0.4 0.3 -1 0 1 0.2 0.7 0.1 9 设二维离散型随机变量的联合分布律如下： 例1： 解： 方法二：先利用公式求出X, Y, XY的数学期望，再求出协方差． -1 0 1 0 0.1 0.1 0.2 1 0.2 0.3 0.1 求 10 设二维连续型随机变量 在区域D上服从均匀分布，求 其中 例2： 解： 的概率密度为 于是根据相关公式，有 11 例2： 解： 于是 12 设随机变量X, Y的数学期望和方差均存在且方差不为0，称其标准化随机变量的协方差 定义2： 协方差的结果中含有两个随机变量的量纲，且是绝对的数值，有时无法表现出两个随机变量之间的相对关联程度．为了避免量纲对于描述两个变量间关联程度的影响，可以采用无量纲的标准化随机变量． 为随机变量X,Y的相关系数，记为 相关系数的计算基本同于协方差. （1）若 是离散型随机变量，其概率函数为 则 设 均存在，则 （2）若 是连续型随机变量，其概率密度为 ，则 二、协方差与相关系数的性质 由协方差和相关系数的定义，易得如下性质． （1） （2） （3） （4） （5） 若 ，则称 不相关. 二、协方差与相关系数的性质 （6） （7）若 独立，则 不相关；反之不然. （8） 定义3： 不相关反映的是变量之间没有线性变化趋势，但并不代表没有其它的关系（比如平方关系或其它非线性关系等）． 小结 1. 主要概念：随机变量的协方差，随机变量间的相关系数，不相关； 2. 协方差与相关系数的性质. $$