3.6 综合例题（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版）

概率论 与 数理统计 1 “悟道诗---严加安” 随机非随意，概率破玄机； 无序隐有序，统计解迷离． 2 第三章 多维随机变量及其分布 第六节 综合例题 例1： 设二维随机变量 的联合概率密度函数为 求关于X和Y的边缘概率密度函数，并判断独立性． 解： 先求关于X的边缘概率密度函数 即 例1： 设二维随机变量 的联合概率密度函数为 求关于X和Y的边缘概率密度函数，并判断独立性． 解： 再求关于Y的边缘概率密度函数 即 例1： 设二维随机变量 的联合概率密度函数为 求关于X和Y的边缘概率密度函数，并判断独立性． 解： 综上，显然有对于任意的 所以随机变量X与Y相互独立. 例2： 设 的联合概率密度函数为 求: (1) X和Y的边缘概率密度; (2) 解： (1) 求X的边缘概率密度 当 时， 当 时， 当 时， 例2： 设 的联合概率密度函数为 求: (1) X和Y的边缘概率密度; (2) 解： 所以，关于X的边缘概率密度函数为 再求关于Y的边缘概率密度 当 时， 当 或 时， 例2： 设 的联合概率密度函数为 求: (1) X和Y的边缘概率密度; (2) 解： 所以，关于Y的边缘概率密度函数为 (2) 例3： 设 的联合概率密度函数为 (1) 问X与Y是否相互独立？(2) 求 Z=X+2Y 的概率密度 解： (1) 先求两个边缘概率密度函数 fX(x)、 fY(y)； 函数 fZ(z) 和分布函数 FZ(z) ；(3) 求 P(Z > 4). 所以，X服从参数为1的指数分布，即 综上，显然有 所以， X与Y相互独立. 所以，Y服从区间[0,1]上的均匀分布，即 (2) 先求 Z=X+2Y 的分布函数 FZ(z). 当 时， 当 时， 当 时， 所以，Z=X+2Y的分布函数 FZ(z)为 于是，Z=X+2Y的概率密度函数 fZ(z)为 (3) 利用分布函数 FZ(z) 求 P ( Z > 4 ). 设某系统S由两个子系统S1、S2组成，已知S1、 例4： ，其中 S2的寿命都是服从指数分布的随机变量，分别记为 解： 试就下面三种不同的方式，求出系统S的寿命L的概率 密度函数: (1)串联；(2)并联；(3)一个工作，一个备用． (1) 串联时，系统S的寿命 由 知， 的分布函数为 则此时系统S的寿命L=Xmin的概率密度函数为 即Xmin服从参数为 的指数分布. (2) 并联时，系统S的寿命 由 知， 的分布函数为 则此时系统S的寿命L=Xmax的概率密度函数为 (3) 备用时，两个子系统的寿命互不影响，系统S的寿命L=X1+X2，可认为X1与X2相互独立. 由 ，结合卷积公式，当x>0时 当 时， 因此，一个工作，一个备用时，系统S的寿命L=X1+X2，的概率密度函数为 $$